已知函數(shù)
(1)當(dāng)時,求函數(shù)的極小值;
(2)當(dāng)時,過坐標(biāo)原點作曲線的切線,設(shè)切點為,求實數(shù)的值;
(3)設(shè)定義在上的函數(shù)在點處的切線方程為當(dāng)時,若在內(nèi)恒成立,則稱為函數(shù)的“轉(zhuǎn)點”.當(dāng)時,試問函數(shù)是否存在“轉(zhuǎn)點”.若存在,請求出“轉(zhuǎn)點”的橫坐標(biāo),若不存在,請說明理由.
(1) ;(2) ;(3)參考解析
解析試題分析:(1)因為函數(shù)當(dāng)時,求函數(shù)的極小值,即對函數(shù)求導(dǎo)通過求出極值點,即可求出極小值.
(2)過曲線外一點作曲線的切線,是通過求導(dǎo)得到切線的斜率等于切點與這點斜率.建立一個等式,從而確定切點橫坐標(biāo)的大小,由于該方程不能直接求解,所以通過估算一個值,在證明該函數(shù)的單調(diào)性,即可得到切點的橫坐標(biāo).
(3)因為根據(jù)定義在上的函數(shù)在點處的切線方程為當(dāng)時,若在內(nèi)恒成立,則稱為函數(shù)的“轉(zhuǎn)點”.該定義等價于切線穿過曲線,在的兩邊的圖像分別在的上方和下方恒成立.當(dāng)時,通過討論函數(shù)的單調(diào)性即最值即可得結(jié)論.
試題解析:(1)當(dāng)時,,
當(dāng)時,;當(dāng)時;當(dāng)時.
所以當(dāng)時,取到極小值.
(2),所以切線的斜率
整理得,顯然是這個方程的解,
又因為在上是增函數(shù),
所以方程有唯一實數(shù)解,故.
(3)當(dāng)時,函數(shù)在其圖象上一點處的切線方程為
,
設(shè),則,
若,在上單調(diào)遞減,
所以當(dāng)時,此時;
所以在上不存在“轉(zhuǎn)點”.
若時,在上單調(diào)遞減,所以當(dāng)時, ,此時,
所以在上不存在“轉(zhuǎn)點”.
若時,即在上是增函數(shù),
當(dāng)時,,
當(dāng)時,, 即點為“轉(zhuǎn)點”,
故函數(shù)存在“轉(zhuǎn)點”,且是“轉(zhuǎn)點”的橫坐標(biāo).
考點:1.函數(shù)極值.2.函數(shù)的切線問題.3.新定義的問題.4.數(shù)形結(jié)合的思想.5.運算能力.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)f(x)=x2+xsinx+cosx.
(1)若曲線y=f(x)在點(a,f(a))處與直線y=b相切,求a與b的值;
(2)若曲線y=f(x)與直線y=b有兩個不同交點,求b的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)f(x)=ax3-x2+cx+d(a,c,d∈R)滿足f(0)=0,f′(1)=0,且f′(x)≥0在R上恒成立.
(1)求a,c,d的值;
(2)若h(x)=x2-bx+-,解不等式f′(x)+h(x)<0.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知f(x)=ex-ax-1.
(1)求f(x)的單調(diào)增區(qū)間;
(2)若f(x)在定義域R內(nèi)單調(diào)遞增,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)在處存在極值.
(1)求實數(shù)的值;
(2)函數(shù)的圖像上存在兩點A,B使得是以坐標(biāo)原點O為直角頂點的直角三角形,且斜邊AB的中點在軸上,求實數(shù)的取值范圍;
(3)當(dāng)時,討論關(guān)于的方程的實根個數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)f(x)=ax+ln x,g(x)=ex.
(1)當(dāng)a≤0時,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若不等式g(x)< 有解,求實數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)f(x)=(ax2+bx+c)ex且f(0)=1,f(1)=0.
(1)若f(x)在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞減,求實數(shù)a的取值范圍;
(2)當(dāng)a=0時,是否存在實數(shù)m使不等式2f(x)+4xex≥mx+1≥-x2+4x+1對任意x∈R恒成立?若存在,求出m的值,若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)函數(shù).
(1)求的單調(diào)區(qū)間;
(2)設(shè)函數(shù),若當(dāng)時,恒成立,求的取值范圍.
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