Question

10．過(guò)雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)F作一條直線，當(dāng)直線傾斜角為$\frac{π}{6}$時(shí)，直線與雙曲線左、右兩支各有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)直線傾斜角為$\frac{π}{3}$時(shí)，直線與雙曲線右支有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則雙曲線離心率的取值范圍為（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，2）．

Answer 1

分析 要使直線與雙曲線的右支有兩個(gè)交點(diǎn)，需使雙曲線的其中一漸近線方程的斜率小于直線的斜率，即$\frac{a}$＜tan60°=$\sqrt{3}$，求得a和b的不等式關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$，化成a和c的不等式關(guān)系，求得離心率的一個(gè)范圍；再由當(dāng)直線傾斜角為$\frac{π}{6}$時(shí)，直線與雙曲線左、右兩支各有一個(gè)交點(diǎn)，可得$\frac{a}$＞tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，同樣可得e的范圍，最后綜合可得求得e的范圍．

解答 解：當(dāng)直線傾斜角為$\frac{π}{3}$時(shí)，直線與雙曲線右支有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
需使雙曲線的其中一漸近線方程的斜率小于直線的斜率，
即$\frac{a}$＜tan60°=$\sqrt{3}$，
即b＜$\sqrt{3}$a，
∵b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$
∴$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$＜$\sqrt{3}$a，
整理得c＜2a，
∴e=$\frac{c}{a}$＜2；
當(dāng)直線傾斜角為$\frac{π}{6}$時(shí)，直線與雙曲線左、右兩支各有一個(gè)交點(diǎn)，
可得$\frac{a}$＞tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
即有b＞$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，
由 $\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$＞$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，
整理得c＞$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，
∴e=$\frac{c}{a}$＞$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
綜上可得$\frac{2\sqrt{3}}{3}$＜e＜2．
故答案為：（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．在求離心率的范圍時(shí)，注意雙曲線的離心率與直線的斜率的關(guān)系，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．