Question

8．已知$\overrightarrow{m}$=（2cosx+2$\sqrt{3}$sinx，1），$\overrightarrow{n}$=（cosx，-y），且$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$．
（Ⅰ）將y表示x的函數(shù)f（x），并求f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）已知a，b，c分別為△ABC的三個內(nèi)角A，B，C對應(yīng)的邊長，若f（$\frac{A}{2}$）=3，且a=3，b+c=4，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$．可得且$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=0，建立關(guān)系可得f（x）．
（Ⅱ）根據(jù)f（$\frac{A}{2}$）=3，求解A角大小．利用余弦定理建立關(guān)系求解b，c可得△ABC的面積．

解答 解：（Ⅰ）由題意$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$．∴$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=0，
∴2cos²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx-y=0，即y=2cos²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx=cos2x+1+$\sqrt{3}$2sin2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z．
得：$-\frac{π}{3}+kπ$≤x≤$\frac{π}{6}+kπ$，k∈Z．
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[$-\frac{π}{3}+kπ$，$\frac{π}{6}+kπ$]，k∈Z．
（Ⅱ）∵f（$\frac{A}{2}$）=3，即2sin（A+$\frac{π}{6}$）+1=3，
∴sin（A+$\frac{π}{6}$）=1，
∴A+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}+2kπ$，
∵0＜A＜π，
∴A=$\frac{π}{3}$，
a=3，b+c=4，
由余弦定理：a²=b²+c²-2bccosA，
∴9=b²+c²-bc，即9=（b+c）²-3bc．
可得bc=$\frac{7}{3}$．
那么△ABC的面積$S=\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{7\sqrt{3}}{12}$．

點(diǎn)評 本題主要考了平面向量的運(yùn)算，三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用余弦定理的計算，確定f（x）的解析式是解決本題的關(guān)鍵．屬于基礎(chǔ)題．