3.已知函數(shù)f(x)=lnx+x2
(1)求函數(shù)h(x)=f(x)-3x的極值;
(2)若函數(shù)g(x)=f(x)-ax在定義域內(nèi)為增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)設(shè)F(x)=2f(x)-3x2-kx(k∈R),若函數(shù)F(x)存在兩個(gè)零點(diǎn)m,n(0<m<n),且x0=$\frac{m+n}{2}$,問:函數(shù)F(x)在(x0,F(xiàn)(x0))處的切線能否平行于x軸?若能,求出該切線方程;若不能,請說明理由.

分析 (1)求得h(x)的導(dǎo)數(shù),由導(dǎo)數(shù)大于0,可得增區(qū)間;導(dǎo)數(shù)小于0,可得減區(qū)間,進(jìn)而得到極值;
(2)先將g(x)在(0,+∞)上遞增,轉(zhuǎn)化成g′(x)≥0對x∈(0,+∞)恒成立,最后根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)對于能否問題,可先假設(shè)能,即設(shè)F(x)在(x0,F(xiàn)(x0))的切線平行于x軸,其中F(x)=2lnx-x2-kx結(jié)合題意,列出方程組,證得函數(shù)y=lnu-$\frac{2(u-1)}{u+1}$在(0,1)上單調(diào)遞增,最后出現(xiàn)矛盾,說明假設(shè)不成立,即切線不能否平行于x軸.

解答 解:(1)由已知,$h'(x)=\frac{{2{x^2}-3x+1}}{x}$,
令$h'(x)=\frac{{2{x^2}-3x+1}}{x}$=0,得$x=\frac{1}{2},或x=1$,
∴h(x)在$({0,\frac{1}{2}})$單調(diào)遞增,在$({\frac{1}{2},1})$單調(diào)遞減,在(1,+∞)單調(diào)遞增.
∴h(x)極小值=h(1)=-2,$h{(x)_{極大值}}=h(\frac{1}{2})=-\frac{5}{4}-ln2$;
(2)∵g(x)=f(x)-ax=lnx+x2-ax,
∴g'(x)=$\frac{1}{x}$+2x-a,定義域:(0,+∞),
∴m(x)=1+2x2-ax≥0在(0,+∞)成立.
1+2x2-ax的對稱軸:x=$\frac{a}{4}$,
當(dāng)a≤0時(shí),只要最小值m'(0)=1>0即可;
當(dāng)a>0時(shí),m'($\frac{a}{4}$)=$\frac{{a}^{2}}{8}$-$\frac{{a}^{2}}{4}$+1≥0則$\frac{{a}^{2}}{8}$≤1,
解得0<a≤2$\sqrt{2}$,
綜上a≤2$\sqrt{2}$;
(3)假設(shè)函數(shù)F(x)在(x0,F(xiàn)(x0))處的切線平行于x軸,
F(x)=2lnx-x2-kx,依題意,2lnm-m2-km=0;2lnn-n2-kn=0,
相減得2ln$\frac{m}{n}$-(m+n)(m-n)=k(m-n),
${F^/}({x_0})=\frac{2}{x_0}-2{x_0}-k=0$,∴$k=\frac{2}{x_0}-2{x_0}$,
又m+n=2x0,$k=\frac{4}{m+n}-(m+n)$
所以ln$\frac{m}{n}$=$\frac{2(m-n)}{m+n}$=$\frac{2(\frac{m}{n}-1)}{\frac{m}{n}+1}$,
設(shè)u=$\frac{m}{n}$∈(0,1),y=lnu-$\frac{2(u-1)}{u+1}$(u∈(0,1)),
y′=$\frac{1}{u}$-$\frac{2(u+1)-2(u-1)}{(u+1)^{2}}$=$\frac{(u-1)^{2}}{u(u+1)^{2}}$>0
設(shè)y=lnu-$\frac{2(u-1)}{u+1}$(u∈(0,1)),
所以函數(shù)y=lnu-$\frac{2(u-1)}{u+1}$在(0,1))上單調(diào)遞增,
因此,當(dāng)0<u<1時(shí),y<0,
即lnu-$\frac{2(u-1)}{u+1}$<0  
也就是ln$\frac{m}{n}$<$\frac{2(\frac{m}{n}-1)}{\frac{m}{n}+1}$,
所以ln$\frac{m}{n}$=$\frac{2(\frac{m}{n}-1)}{\frac{m}{n}+1}$無解.
所以F(x)在(x0,F(xiàn)(x0))處的切線不能平行于x軸.

點(diǎn)評 利用導(dǎo)數(shù)工具討論函數(shù)的單調(diào)性,是求函數(shù)的值域和最值的常用方法,本題還考查了分類討論思想在函數(shù)題中的應(yīng)用,同學(xué)們在做題的同時(shí),可以根據(jù)單調(diào)性,結(jié)合函數(shù)的草圖來加深對題意的理解.

練習(xí)冊系列答案
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18.已知命題p:A={x|a-1<x<a+1,x∈R},命題q:B={x|x2-4x+3≥0}.若非q是p的必要條件,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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19.給出以下三個(gè)說法:
①繪制頻率分布直方圖時(shí),各小長方形的面積等于相應(yīng)各組的組距;
②在刻畫回歸模型的擬合效果時(shí),相關(guān)指數(shù)R2的值越大,說明擬合的效果越好;
③對分類變量X與Y,若它們的隨機(jī)變量K2的觀測值k越大,則判斷“X與Y有關(guān)系”的把握程度越大;
④統(tǒng)計(jì)中用相關(guān)系數(shù)r來衡量兩個(gè)變量之間線性關(guān)系的強(qiáng)弱,則|r|的值越接近1,相關(guān)性越弱.
其中正確的說法是(  )
A.③④B.②③C.①③D.②④

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11.已知z=1-i(i是虛數(shù)單位),$\frac{i}{\overline{z}}$表示的點(diǎn)落在( 。
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

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18.設(shè)φ∈R,則“φ=$\frac{π}{2}$”是“f(x)=cos(2x+φ)為奇函數(shù)”的( 。
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件

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8.下列四組函數(shù)中,表示同一函數(shù)的是( 。
A.f(x)=|x|和g(x)=$\sqrt{{x}^{2}}$B.f(x)=$\sqrt{{x}^{2}}$和 g(x)=($\sqrt{x}$)2
C.f(x)=$\frac{{x}^{2}-1}{x-1}$和g(x)=x+1D.f(x)=x-1與g(x)=$\frac{{x}^{2}}{x}$-1

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15.平面α,β,γ兩兩垂直且交于一點(diǎn)O,若空間有一點(diǎn)P到這三個(gè)平面的距離分別是3、4、12則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離為13.

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12.計(jì)算:(sin15°+cos15°)(sin15°-cos15°)=$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$.

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13.函數(shù)f(x)是定義在[-1,1]上的增函數(shù),若f(x-1)<f(x2-1),則x范圍是( 。
A.(1,+∞)∪(-∞,0)B.(0,1)C.$({1,\sqrt{2}}]$D.$({1,\sqrt{2}}]∪[{-\sqrt{2},0})$

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