Question

20．給出下列幾種說法：
①若log_ab•log₃a=1，則b=3；
②若a+a^-1=3，則a-a^-1=$\sqrt{5}$；
③f（x）=log（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$為奇函數(shù)；
④f（x）=$\frac{1}{x}$為定義域內(nèi)的減函數(shù)；
⑤若函數(shù)y=f（x）是函數(shù)y=a^x（a＞0且a≠1）的反函數(shù)，且f（2）=1，則f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$x，其中說法正確的序號為①③．

Answer 1

分析 ①，根據(jù)換底公式可得；log_ab•log_ba=1；
②，由a+a^-1=3⇒a=$\frac{3±\sqrt{5}}{2}$，則a-a^-1=±$\sqrt{5}$；
③，∵f（-x）+f（x）=log_a（-x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）+log_a（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）=0；
④，f（x）=$\frac{1}{x}$的減區(qū)間為（-∞，0），（0，+∞）；
⑤，函數(shù)y=a^x（a＞0且a≠1）的反函數(shù)是f（x）=log_ax，且f（2）=1，⇒a=2．

解答 解：對于①，根據(jù)換底公式可得；log_ab•log_ba=1，所以當(dāng)log_ab•log₃a=1，則b=3，正確；
對于②，由a+a^-1=3⇒a=$\frac{3±\sqrt{5}}{2}$，則a-a^-1=±$\sqrt{5}$，故錯；
對于③，∵f（-x）=log_a（-x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）且f（-x）+f（x）=log_a（-x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）+log_a（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）=0，故f（x）為奇函數(shù)，正確；
對于④，f（x）=$\frac{1}{x}$的減區(qū)間為（-∞，0），（0，+∞），故錯；
對于⑤，函數(shù)y=a^x（a＞0且a≠1）的反函數(shù)是f（x）=log_ax，且f（2）=1，⇒a=2，∴f（x）=log₂x，故錯．
故答案為：①③．

點(diǎn)評 本題考查了命題真假的判定，涉及到了函數(shù)、指數(shù)對數(shù)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．