Question

19．已知f（x）是定義在實數(shù)集上的函數(shù)，當x∈（0，1]時，f（x）=2^x，且對任意x都有f（x+1）=$\frac{1-2f（x）}{2-f（x）}$，則f（log₂5）=$\frac{4}{5}$．

Answer 1

分析 根據(jù)當x∈（0，1]時，f（x）=2^x，先求f（log₂5-2）的值，進而根據(jù)f（x+1）=$\frac{1-2f（x）}{2-f（x）}$迭代可得答案．

解答 解：∵log₂5∈（2，3），
∴l(xiāng)og₂5-2∈（0，1），
又∵當x∈（0，1]時，f（x）=2^x，
∴f（log₂5-2）=$\frac{5}{4}$，
又∵對任意x都有f（x+1）=$\frac{1-2f（x）}{2-f（x）}$，
∴f（log₂5-1）=$\frac{1-2f（{log}_{2}5-2）}{2-f（{log}_{2}5-2）}$=$\frac{1-2×\frac{4}{5}}{2-\frac{4}{5}}$=-$\frac{1}{2}$
f（log₂5-2）=$\frac{1-2f（{log}_{2}5-1）}{2-f（{log}_{2}5-1）}$=$\frac{1+2×\frac{1}{2}}{2+\frac{1}{2}}$=$\frac{4}{5}$，
故答案為：$\frac{4}{5}$．

點評 本題考查的知識點是抽象函數(shù)及其應用，函數(shù)求值，難度中檔．