Question

1．已知等差數(shù)列{a_n}的公差d≠0，且a₁，a₃，a₁₃成等比數(shù)列，若a₁=1，S_n是數(shù)列{a_n}的前n項和，則$\frac{{2{S_n}+8}}{{{a_n}+3}}（{n∈{N^*}}）$的最小值為（　�。�

• A． $\frac{5}{2}$
• B． $\frac{8}{3}$
• C． $2\sqrt{5}-2$
• D． 3

Answer 1

分析 利用等差數(shù)列通項公式和等比數(shù)列性質，列出方程求出d=2，從而a_n=2n-1，${S_n}=\frac{n（1+2n-1）}{2}={n^2}$，進而得到$\frac{{2{S_n}+8}}{{{a_n}+3}}=\frac{{{n^2}+4}}{n+1}=（n+1）+\frac{5}{n+1}-2$，由此能求出結果．

解答 解：∵a₁=1，a₁，a₃，a₁₃成等比數(shù)列，
∴（1+2d）²=1+12d，
解得d=2或d=0（舍去），∴a_n=2n-1，
∴${S_n}=\frac{n（1+2n-1）}{2}={n^2}$，
∴$\frac{{2{S_n}+8}}{{{a_n}+3}}=\frac{{{n^2}+4}}{n+1}=（n+1）+\frac{5}{n+1}-2$，
n+1=2時原式取得最小值為$\frac{5}{2}$．
故選：A．

點評 本題考查等差數(shù)列中關于前n項和及第n項的代數(shù)式的最小值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意等差數(shù)列的性質的合理運用．