2.已知Rt△ABC的頂點(diǎn)分別為A(1,2),B(-1,-2).,C(1,-2),圓E是△ABC的外接圓.
(I)求圓E的方程;
(II)求直線lmx-y-m+1=0被圓E截得的最短弦長及對應(yīng)的直線l的方程.

分析 (I)設(shè)圓E的方程為x2+y2+ax+by+c=0,因?yàn)辄c(diǎn)A(1,2),B(-1,-2),C(1,-2)均在圓E上代入圓方程求解即可;
(II)直線l恒過點(diǎn)D(1,1),由分析知在圓E恒過點(diǎn)D(1,1)的弦中,與DE垂直的弦最短;

解答 解:(I)設(shè)圓E的方程為x2+y2+ax+by+c=0;
因?yàn)辄c(diǎn)A(1,2),B(-1,-2),C(1,-2)均在圓E上;
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+2b+5+c=0}\\{-a-2b+5+c=0}\\{a-2b+5+c=0}\end{array}\right.$;
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a+4b=0}\\{2a=0}\end{array}\right.$;⇒$\left\{\begin{array}{l}{a=0}\\{b=0}\\{c=-5}\end{array}\right.$;
所以圓E的方程為x2+y2=5;
(II)直線l的方程mx-y-m+1=0可化為m(x-1)-y+1=0,
故直線l恒過點(diǎn)D(1,1),
因?yàn)樵趫AE恒過點(diǎn)D(1,1)的弦中,與DE垂直的弦最短,
又kDE=1;
故當(dāng)m=-1 時(shí)弦長最短,
最短弦長為2$\sqrt{5-2}$=2$\sqrt{3}$,對應(yīng)的直線L的方程為x+y-2=0.

點(diǎn)評 本題主要考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與圓的位置關(guān)系以及直線方程應(yīng)用,屬中檔題.

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