Question

8．對于定義在R上的函數(shù)f（x）滿足兩個條件：
①當(dāng)x∈[0，1]時，f（0）=0，f（1）=e，f（x）-f′（x）＜0；
②e^x-1f（x+1）=e^x+1f（x-1），e^1-xf（x+1）=e^x+1f（1-x），
若函數(shù)y=f（x）-kxe^x零點有2016個，則實數(shù)k的取值范圍為（　　）

• A． （$\frac{1}{2017}$，$\frac{1}{2015}$）
• B． （$\frac{1}{2016}$，$\frac{1}{2014}$）
• C． （-$\frac{1}{2015}$，-$\frac{1}{2017}$）∪（$\frac{1}{2017}$，$\frac{1}{2015}$）
• D． （-$\frac{1}{2014}$，$\frac{1}{2016}$）∪（$\frac{1}{2016}$，$\frac{1}{2014}$）

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)h（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，根據(jù)條件得到h（x）的一個周期為2，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)h（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，利用數(shù)形結(jié)合的思想得到當(dāng)k∈（$\frac{1}{2007}$，$\frac{1}{2005}$）函數(shù)y=f（x）-kxe^x零點有2016個，同理可求k∈（-$\frac{1}{2005}$，-$\frac{1}{2007}$）時，也滿足，問題得以解決．

解答 解：由題意設(shè)函數(shù)h（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，
∵$\frac{f（x+1）}{{e}^{x+1}}$=$\frac{f（1-x）}{{e}^{1-x}}$，
即h（1+x）=h（1-x），
∴h（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，
∵e^x-1f（x+1）=e^x+1f（x-1），
∴h（x+1）=h（x-1），
即h（x）的一個周期為2，
又∵h′（x）=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$＞0，
∴h（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，
∴h（0）=0，h（1）=1，
又函數(shù)y=f（x）-kxe^x零點的個數(shù)即為方程f（x）-kxe^x=0的根的個數(shù)，
∴h（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$=kx，
畫出h（x）的模擬圖象和y=kx的圖象，分析可知，
當(dāng)k∈（$\frac{1}{2007}$，$\frac{1}{2005}$）每個周期內(nèi)h（x），kx的圖象有2個交點，共有1008個周期，
函數(shù)y=f（x）-kxe^x零點有2016個，
同理當(dāng)k∈（-$\frac{1}{2005}$，-$\frac{1}{2007}$）時，
函數(shù)y=f（x）-kxe^x零點也有2016個，
綜上所述，k∈（-$\frac{1}{2015}$，-$\frac{1}{2017}$）∪（$\frac{1}{2017}$，$\frac{1}{2015}$），
故選：C．

點評 本題主要考查函數(shù)的零點以及數(shù)形結(jié)合方法，數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)．