Question

15．已知函數(shù)y=$\frac{2}{3}$x³-2x²+3，
（1）求在點(diǎn)（1，$\frac{5}{3}$）處的切線(xiàn)方程，
（2）求函數(shù)在[-1，3]的最值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可得切線(xiàn)的斜率，由點(diǎn)斜式方程可得切線(xiàn)的方程；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)為0，可得極值點(diǎn)，分別計(jì)算極值和區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，即可得到所求最值．

解答 解：（1）函數(shù)y=$\frac{2}{3}$x³-2x²+3的導(dǎo)數(shù)為y′=2x²-4x，
可得在點(diǎn)（1，$\frac{5}{3}$）處的切線(xiàn)斜率為k=2-4=-2，
即有在點(diǎn)（1，$\frac{5}{3}$）處的切線(xiàn)方程為y-$\frac{5}{3}$=-2（x-1），
即為6x+3y-11=0；
（2）函數(shù)y=$\frac{2}{3}$x³-2x²+3的導(dǎo)數(shù)為y′=2x²-4x，
由y′=0，解得x=0或2，都在區(qū)間[-1，3]內(nèi)，
由x=-1時(shí)，y=-$\frac{2}{3}$-2+3=$\frac{1}{3}$；
x=0時(shí)，y=3；x=2時(shí)，y=$\frac{16}{3}$-8+3=$\frac{1}{3}$；
x=3時(shí)，y=18-18+3=3．
則函數(shù)y在[-1，3]的最大值為3，最小值為$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線(xiàn)的方程和最值，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．