Question

13．過雙曲線$C：\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1（a＞b＞0）$的右焦點(diǎn)F作x軸的垂線，交雙曲線C于M、N兩點(diǎn)，A為左頂點(diǎn)，這∠MAN=θ，雙曲線C的離心率為f（θ），則$f（\frac{2π}{3}）-f（\frac{π}{3}）$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 利用離心率的定義，分別求出f（$\frac{2π}{3}$）、f（$\frac{π}{3}$）．即可求出f（$\frac{2π}{3}$）-f（$\frac{π}{3}$）．

解答 解：由題意，M（c，$\frac{^{2}}{a}$），θ=$\frac{2π}{3}$，tan$\frac{π}{3}$=$\frac{\frac{^{2}}{a}}{a+c}$，∴e=$\sqrt{3}$+1，即f（$\frac{2π}{3}$）=$\sqrt{3}$+1；
θ=$\frac{π}{3}$，tan$\frac{π}{6}$=$\frac{\frac{^{2}}{a}}{a+c}$，∴e=$\frac{\sqrt{3}}{3}$+1，即f（$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$+1，
∴f（$\frac{2π}{3}$）-f（$\frac{π}{3}$）=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
故答案為：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查離心率的定義，考查雙曲線的性質(zhì)，屬于中檔題．