Question

18．已知△ABC的面積為S，且$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=$\sqrt{2}$S． 求cosA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)向量數(shù)量積的定義結(jié)合三角形的面積公式，以及同角的三角函數(shù)的關(guān)系，即可求出．

解答 解：設(shè)A、B、C所對邊分別為a，b，c，
∵$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=$\sqrt{2}$S，
∴bccosA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$bcsinA，
∴cosA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinA，
∴cos²A=$\frac{1}{2}$sin²A，
∵cos²A+sin²A=1，
∴cos²A=$\frac{1}{2}$（1-cos²A），
∴cos²A=$\frac{1}{3}$，
由$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=$\sqrt{2}$S＞0，
∴coA＞0，
∴cosA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{3}$

點評 本題考查平面向量數(shù)量積的運算、三角形面積公式，屬于中檔題．