【題目】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*),且滿足: ①|(zhì)a1|≠|(zhì)a2|;
②r(n﹣p)Sn+1=(n2+n)an+(n2﹣n﹣2)a1 , 其中r,p∈R,且r≠0.
(1)求p的值;
(2)數(shù)列{an}能否是等比數(shù)列?請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)求證:當(dāng)r=2時(shí),數(shù)列{an}是等差數(shù)列.
【答案】
(1)解:n=1時(shí),r(1﹣p)(a1+a2)=2a1﹣2a1,其中r,p∈R,且r≠0.又|a1|≠|(zhì)a2|.
∴1﹣p=0,解得p=1
(2)解:設(shè)an=kan﹣1(k≠±1),r(n﹣1)Sn+1=(n2+n)an+(n2﹣n﹣2)a1,∴rS3=6a2,2rS4=12a3+4a1,
化為:r(1+k+k2)=6k,r(1+k+k2+k3)=6k2+2.聯(lián)立解得r=2,k=1(不合題意),舍去,因此數(shù)列{an}不是等比數(shù)列
(3)解:證明:r=2時(shí),2(n﹣1)Sn+1=(n2+n)an+(n2﹣n﹣2)a1,∴2S3=6a2,4S4=12a3+4a1,6S5=20a4+10a1.
化為:a1+a3=2a2,a2+a4=2a3,a3+a5=2a4.假設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)成等差數(shù)列,公差為d.
則2(n﹣1) =(n2+n)[a1+(n﹣1)d]+(n2﹣n﹣2)a1,化為an+1=a1+(n+1﹣1)d,
因此第n+1項(xiàng)也滿足等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,
綜上可得:數(shù)列{an}成等差數(shù)列
【解析】(1)n=1時(shí),r(1﹣p)(a1+a2)=2a1﹣2a1 , 其中r,p∈R,且r≠0.又|a1|≠|(zhì)a2|.可得1﹣p=0,解得p.(2)設(shè)an=kan﹣1(k≠±1),r(n﹣1)Sn+1=(n2+n)an+(n2﹣n﹣2)a1 , 可得rS3=6a2 , 2rS4=12a3+4a1 , 化為:r(1+k+k2)=6k,r(1+k+k2+k3)=6k2+2.聯(lián)立解得r,k,即可判斷出結(jié)論.(3)r=2時(shí),2(n﹣1)Sn+1=(n2+n)an+(n2﹣n﹣2)a1 , 可得2S3=6a2 , 4S4=12a3+4a1 , 6S5=20a4+10a1 . 化為:a1+a3=2a2 , a2+a4=2a3 , a3+a5=2a4 . 假設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)成等差數(shù)列,公差為d.利用已知得出an+1 , 即可證明.
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用等差關(guān)系的確定和等比關(guān)系的確定,掌握如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù),即-=d ,(n≥2,n∈N)那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列;等比數(shù)列可以通過(guò)定義法、中項(xiàng)法、通項(xiàng)公式法、前n項(xiàng)和法進(jìn)行判斷即可以解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓:的四個(gè)頂點(diǎn)圍成的四邊形的面積為,原點(diǎn)到直線的距離為.
(1)求橢圓的方程;
(2)已知定點(diǎn),是否存在過(guò)的直線,使與橢圓交于,兩點(diǎn),且以為直徑的圓過(guò)橢圓的左頂點(diǎn)?若存在,求出的方程:若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=sinωx﹣ cosωx(ω>0),若方程f(x)=﹣1在(0,π)上有且只有四個(gè)實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)ω的取值范圍為( )
A.( , ]
B.( , ]
C.( , ]
D.( , ]
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】現(xiàn)有1000根某品種的棉花纖維,從中隨機(jī)抽取50根,纖維長(zhǎng)度(單位:mm)的數(shù)據(jù)分組及各組的頻數(shù)如表,據(jù)此估計(jì)這1000根中纖維長(zhǎng)度不小于37.5mm的根數(shù)是 .
纖維長(zhǎng)度 | 頻數(shù) |
[22.5,25.5) | 3 |
[25.5,28.5) | 8 |
[28.5,31.5) | 9 |
[31.5,34.5) | 11 |
[34.5,37.5) | 10 |
[37.5,40.5) | 5 |
[40.5,43.5] | 4 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知命題關(guān)于的不等式的解集是,命題函數(shù)的定義域?yàn)?/span>.
(1)如果為真命題,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)如果為真命題, 為假命題, 求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù) ,則關(guān)于函數(shù)f(x)有以下四個(gè)命題( )
①x∈R,f(f(x))=1;
②x0 , y0∈R,f(x0+y0)=f(x0)+f(y0);
③函數(shù)f(x)是偶函數(shù);
④函數(shù)f(x)是周期函數(shù).
其中真命題的個(gè)數(shù)是( )
A.4
B.3
C.2
D.1
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓 的離心率為 ,四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的菱形的面積是4,圓M:(x+1)2+y2=r2(0<r<1).過(guò)橢圓C的上頂點(diǎn)A作圓M的兩條切線分別與橢圓C相交于B,D兩點(diǎn)(不同于點(diǎn)A),直線AB,AD的斜率分別為k1 , k2 .
(1)求橢圓C的方程;
(2)當(dāng)r變化時(shí),①求k1k2的值;②試問(wèn)直線BD是否過(guò)某個(gè)定點(diǎn)?若是,求出該定點(diǎn);若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,的邊邊所在直線的方程為 滿足,點(diǎn)在邊所在直線上且滿足.
(I)求邊所在直線的方程;
(II)求的外接圓的方程;
(III)若點(diǎn)的坐標(biāo)為,其中為正整數(shù)。試討論在的外接圓上是否存在點(diǎn)使得成立?說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓C: =1(a>b>0)過(guò)點(diǎn)A(0,3),與雙曲線 =1有相同的焦點(diǎn)
(1)求橢圓C的方程;
(2)過(guò)A點(diǎn)作兩條相互垂直的直線,分別交橢圓C于P,Q兩點(diǎn),則PQ是否過(guò)定點(diǎn)?若是,求出定點(diǎn)的坐標(biāo),若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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