Question

2．已知函數(shù)f（x）=ax²+bx-2（a＞0，b＞0）有兩個(gè)零點(diǎn)，其中一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間（1，2）內(nèi)，則a+b的取值范圍為（$\frac{1}{2}$，2）．

Answer 1

分析 利用零點(diǎn)存在定理，構(gòu)造函數(shù)使得f（1）•f（2）＜0，求出a+b的范圍即可．

解答 解：關(guān)于x的方程ax²+bx-2=0（a＞0，b＞0）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
其中一個(gè)根在區(qū)間（1，2）內(nèi)，令f（x）=ax²+bx-2
即：方程對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象在（1，2）內(nèi)與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，
滿足f（1）•f（2）＜0，
∴（a+b-2）（4a+2b-2）＜0
（a+b-2）（2a+b-1）＜0
若a+b-2＜0，即a+b＜2時(shí)，
則2a+b-1＞0，即2（a+b）＞b+1＞1
即a+b＞$\frac{1}{2}$；
若a+b-2＞0，則2a+b-1＞0
不滿足條件；
所以a+b∈（$\frac{1}{2}$，2），
故答案為：（$\frac{1}{2}$，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，零點(diǎn)存在定理，不等式的解法，是中檔題．