Question

5．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1-\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以原點O為極點，以x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=6cosθ．
（Ⅰ）寫出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）若點P的直角坐標(biāo)為（1，0），曲線C與直線l交于A，B兩點，求|PA|+|PB|的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直接由直線的參數(shù)方程消去參數(shù)t得到直線的普通方程；把等式ρ=6cosθ兩邊同時乘以ρ，代入x=ρcosθ，ρ²=x²+y²得答案；
（Ⅱ）把直線的參數(shù)方程代入圓的普通方程，利用直線參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義求得|PA|+|PB|的值．

解答 解：（Ⅰ）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1-\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)，
可得直線l的普通方程為：$\sqrt{3}$x+y-$\sqrt{3}$=0   …（2分）
曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=6cosθ，即 ρ²=6ρcosθ，化為直角坐標(biāo)方程為 x²+y²=6x，
即圓C的直角坐標(biāo)方程為：（x-3）²+y²=9…（5分）
（Ⅱ）把直線的參數(shù)方程代入圓C的方程，化簡得：t²+2t-5=0…（8分）
所以，t₁+t₂=-2，t₁t₂=-5＜0
所以|PA|+|PB|=|t₁|+|t₂|=|t₁-t₂|=$\sqrt{{{（{{t_1}+{t_2}}）}^2}-4{t_1}{t_2}}$=$2\sqrt{6}$…（10分）

點評 本題考查參數(shù)方程化普通方程，考查極坐標(biāo)方程化直角坐標(biāo)方程，考查了直線的參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義，是基礎(chǔ)題．