Question

15．已知拋物線E：y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線方程為x=-$\frac{1}{16}$．
（1）求拋物線的方程；
（2）定長(zhǎng)為2的線段MN的兩端點(diǎn)在拋物線E上移動(dòng)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P滿足$\frac{\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}}{2}$=$\overrightarrow{OP}$，求點(diǎn)P到y(tǒng)軸距離的最小值．

Answer 1

分析 （1）由已知中的準(zhǔn)線方程，求出p值，可得拋物線的方程；
（2）先設(shè)出M，N的坐標(biāo)，根據(jù)拋物線方程可求得其準(zhǔn)線方程，進(jìn)而可表示出M到y(tǒng)軸距離，根據(jù)拋物線的定義結(jié)合兩邊之和大于第三邊且A，B，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)判斷出$\frac{|MF|+|NF|}{2}$的最小值即可．

解答 解：（1）∵拋物線E：y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線方程為x=-$\frac{1}{16}$．
∴$\frac{p}{2}$=$\frac{1}{16}$，
解得：p=$\frac{1}{8}$，
即拋物線E的方程為：y²=$\frac{1}{4}$x；
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∵點(diǎn)P滿足$\frac{\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}}{2}$=$\overrightarrow{OP}$，故P為MN的中點(diǎn)，
P到y(tǒng)軸距離S=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{|MF|+|NF|}{2}$-$\frac{1}{16}$≥$\frac{|MN|}{2}$-$\frac{1}{16}$=1-$\frac{1}{16}$=$\frac{15}{16}$，
當(dāng)且僅當(dāng)M，N過(guò)F點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)、利用不等式求最值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．