7.已知函數(shù)f(x)=loga$\frac{x+1}{x-1}$(a>0,a≠1).
(1)當(dāng)a>1時(shí),討論f(x)的奇偶性,并證明函數(shù)f(x)在(1,+∞)上為單調(diào)遞減;
(2)當(dāng)x∈(n,a-2)時(shí),是否存在實(shí)數(shù)a和n,使得函數(shù)f(x)的值域?yàn)椋?,+∞),若存在,求出實(shí)數(shù)a與n的值,若不存在,說明理由.

分析 (1)直接利用函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的定義判斷;
(2)令$t=\frac{x+1}{x-1}$=$\frac{x-1+2}{x-1}=1+\frac{2}{x-1}$,x∈(n,a-2),當(dāng)a>1時(shí),要使f(x)的值域?yàn)椋?,+∞),則須t∈(a,+∞),令$\frac{{x}_{0}+1}{{x}_{0}-1}=a$,解得${x}_{0}=\frac{a+1}{a-1}$.可得x∈(1,$\frac{a+1}{a-1}$).則$\left\{\begin{array}{l}{n=1}\\{\frac{a+1}{a-1}=a-2}\end{array}\right.$,解得$\left\{\begin{array}{l}{n=1}\\{a=2+\sqrt{3}}\end{array}\right.$;當(dāng)0<a<1時(shí),t∈(0,a),則x∈($\frac{a+1}{a-1},-1$),得$\left\{\begin{array}{l}{a-2=-1}\\{\frac{a+1}{a-1}=n}\end{array}\right.$,(不合題意).由此可得存在實(shí)數(shù)n=1,a=$2+\sqrt{3}$,當(dāng)x∈(n,a-2)時(shí),函數(shù)f(x)的值域?yàn)椋?,+∞).

解答 解:(1)f(x)的定義域?yàn)閧x|x<-1或x>1},關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,
又f(-x)=$lo{g}_{a}\frac{1-x}{-1-x}=lo{g}_{a}\frac{x-1}{1+x}=-lo{g}_{a}\frac{x+1}{x-1}=-f(x)$,∴f(x)為奇函數(shù),
證明:當(dāng)a>1時(shí),設(shè)1<x1<x2,則
f(x1)-f(x2)=$lo{g}_{a}\frac{{x}_{1}+1}{{x}_{1}-1}-lo{g}_{a}\frac{{x}_{2}+1}{{x}_{2}-1}$=$lo{g}_{a}\frac{({x}_{1}+1)({x}_{2}-1)}{({x}_{1}-1)({x}_{2}+1)}$,
∵$\frac{({x}_{1}+1)({x}_{2}-1)}{({x}_{1}-1)({x}_{2}+1)}-1=\frac{({x}_{1}+1)({x}_{2}-1)-({x}_{1}-1)({x}_{2}+1)}{({x}_{1}-1)({x}_{2}+1)}$=$\frac{2({x}_{2}-{x}_{1})}{({x}_{1}-1)({x}_{2}+1)}>0$,
∴$\frac{({x}_{1}+1)({x}_{2}-1)}{({x}_{1}-1)({x}_{2}+1)}$>1,又a>1,∴l(xiāng)oga$\frac{({x}_{1}+1)({x}_{2}-1)}{({x}_{1}-1)({x}_{2}+1)}$>0,則f(x1)>f(x2),
∴函數(shù)f(x)在(1,+∞)上為減函數(shù);
(2)令$t=\frac{x+1}{x-1}$=$\frac{x-1+2}{x-1}=1+\frac{2}{x-1}$,x∈(n,a-2),
①當(dāng)a>1時(shí),要使f(x)的值域?yàn)椋?,+∞),則須t∈(a,+∞),
令$\frac{{x}_{0}+1}{{x}_{0}-1}=a$,解得${x}_{0}=\frac{a+1}{a-1}$.∴x∈(1,$\frac{a+1}{a-1}$).
故有$\left\{\begin{array}{l}{n=1}\\{\frac{a+1}{a-1}=a-2}\end{array}\right.$,解得$\left\{\begin{array}{l}{n=1}\\{a=2+\sqrt{3}}\end{array}\right.$;
②當(dāng)0<a<1時(shí),t∈(0,a),則x∈($\frac{a+1}{a-1},-1$),∴$\left\{\begin{array}{l}{a-2=-1}\\{\frac{a+1}{a-1}=n}\end{array}\right.$,(不合題意).
綜上所述,存在實(shí)數(shù)n=1,a=$2+\sqrt{3}$,當(dāng)x∈(n,a-2)時(shí),函數(shù)f(x)的值域?yàn)椋?,+∞).

點(diǎn)評(píng) 本題是函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的綜合題,考查函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的判定方法,考查了函數(shù)值域的求法,體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法,是中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

17.已知函數(shù)f(x)=$\frac{lnx+x+1}{x}$.
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若函數(shù)F(x)=xf(x)-$\frac{{{x^2}+x+a}}{x}$在[1,e]上是最小值為$\frac{3}{2}$,求a的值;
(Ⅲ)如果當(dāng)x≥1時(shí),不等式f(x)≥$\frac{a}{x+1}$+1恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

18.已知函數(shù)f(x)=$\frac{1}{x}$+alnx(a≠0,a∈R).
(1)若a=1,求函數(shù)f(x)的極值和單調(diào)區(qū)間;
(2)若在區(qū)間(0,e]上至少存在一點(diǎn)x0,使得f(x0)<0成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

15.已知點(diǎn)A(4,8)是拋物線C:y2=2px與直線l:y=k(x+4)的一個(gè)交點(diǎn),則拋物線的焦點(diǎn)到直線l的距離是( 。
A.$\sqrt{2}$B.$2\sqrt{2}$C.$3\sqrt{2}$D.$4\sqrt{2}$

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

2.已知函數(shù)f(x)=|a2x2-1|+ax,(其中a∈R,a≠0).
(1)當(dāng)a<0時(shí),若函數(shù)y=f(x)-c恰有x1,x2,x3,x4這4個(gè)零點(diǎn),求x1+x2+x3+x4的值;
(2)當(dāng)x∈[-1,1]時(shí),求函數(shù)y=f(x)(其中a<0)的最大值M(a).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

12.已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+1和函數(shù)g(x)=$\frac{bx-1}{{a}^{2}x+2b}$,
(1)若f(x)為偶函數(shù),試判斷g(x)的奇偶性;
(2)若方程g(x)=x有兩個(gè)不等的實(shí)根x1,x2(x2<x2),則
①試判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,1)上是否具有單調(diào)性,并說明理由;
②若方程f(x)=0的兩實(shí)根為x3,x4(x3<x4)求使x1<x2<x3<x4成立的a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

19.設(shè)函數(shù)f(x)=kax-a-x(a>0且a≠1,k∈R),f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù).
(1)求k的值.
(2)判斷并證明當(dāng)a>1時(shí),函數(shù)f(x)在R上的單調(diào)性;
(3)已知a=3,若f(3x)≥λ•f(x)對(duì)于x∈[1,2]時(shí)恒成立.請(qǐng)求出最大的整數(shù)λ.

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16.在直角坐標(biāo)系xOy中,以O(shè)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.圓C1和直線C2的極坐標(biāo)方程分別為ρ=4sinθ,ρcos(θ-$\frac{π}{4}$)=2$\sqrt{2}$.
(1)求圓C1和直線C2的直角坐標(biāo)方程.
(2)求圓C1和直線C2交點(diǎn)的極坐標(biāo).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

17.已知拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)O,其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱且經(jīng)過點(diǎn)M(2,1).
(1)求拋物線C的方程;
(2)若一個(gè)等邊三角形的一個(gè)頂點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn),另兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上,求該等邊三角形的面積;
(3)過點(diǎn)M作拋物線C的兩條弦MA,MB,設(shè)MA,MB所在直線的斜率分別為k1,k2,當(dāng)k1k2=-2時(shí),試證明直線AB恒過定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).

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