分析 (1)若f(x)為偶函數(shù),則b=0此時(shí)g(x)=$\frac{-1}{{a}^{2}x}$滿足g(-x)=-g(x)為奇函數(shù);
(2)①由g(x)=x得有不等實(shí)根,整理后得一二次方程,故可得△>0,其為一關(guān)于a,b的關(guān)系式,從中整理 得出對(duì)稱軸的范圍,知其不在區(qū)間(-1,1)上,故可證得函數(shù)在區(qū)間(-1,1)上具有單調(diào)性.
②方程f(x)=0為一二次函數(shù)其兩實(shí)根為x3,x4(x3<x4),若x3<x1<x2<x4成立,即x1,x2在兩根之間,可由根的分布的相關(guān)知識(shí)將這一關(guān)系轉(zhuǎn)化為不等式,解出a的范圍
解答 解:(1)若f(x)為偶函數(shù),則f(-x)=f(x),
即ax2-bx+1=ax2+bx+1,解得:b=0,
此時(shí)g(x)=$\frac{-1}{{a}^{2}x}$滿足g(-x)=-g(x),
即g(x)為奇函數(shù);(4分)
(2)①由g(x)=x得方程a2x2+bx+1=0(*)有不等實(shí)根
∴△=b2-4a2>0及a≠0得|-$\frac{2a}$|>1即-$\frac{2a}$<-1或-$\frac{2a}$>1(7分)
又f(x)的對(duì)稱軸x=-$\frac{2a}$∉(-1,1)
故f(x)在(-1,1)上是單調(diào)函數(shù)(10分)
②x1,x2是方程(*)的根,∴a2x12+bx1+1=0
∴bx1=-a2x12-1,同理bx2=-a2x22-1
∴f(x1)=ax12+bx1+1=ax12-a2x12=(a-a2)x12
同理f(x2)=(a-a2)x22
要使x3<x1<x2<x4,只需$\left\{\begin{array}{l}a>0\\ f({x}_{1})<0\\ f({x}_{2})<0\end{array}\right.$,
即 $\left\{\begin{array}{l}a>0\\ a-{a}^{2}<0\end{array}\right.$,∴a>1
或$\left\{\begin{array}{l}a<0\\ f({x}_{1})>0\\ f({x}_{2})>0\end{array}\right.$,
即$\left\{\begin{array}{l}a<0\\ a-{a}^{2}>0\end{array}\right.$,解集為φ
故a的取值范圍a>1(16分)
點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),是解答的關(guān)鍵.
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A. | $\frac{1}{5}$ | B. | $\frac{1}{4}$ | C. | $\frac{4}{9}$ | D. | $\frac{5}{9}$ |
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A. | 2 | B. | $\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$ | C. | $\frac{{4\sqrt{10}}}{5}$ | D. | $\frac{{8\sqrt{10}}}{5}$ |
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A. | a≤$\frac{41}{8}$ | B. | a≤11 | C. | a≥$\frac{41}{8}$ | D. | a≥11 |
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