Question

19．設(shè)函數(shù)f（x）=ka^x-a^-x（a＞0且a≠1，k∈R），f（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)．
（1）求k的值．
（2）判斷并證明當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)f（x）在R上的單調(diào)性；
（3）已知a=3，若f（3x）≥λ•f（x）對(duì)于x∈[1，2]時(shí)恒成立．請(qǐng)求出最大的整數(shù)λ．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)建立關(guān)系求k的值．
（2）利用定義證明其單調(diào)性即可．
（3）利用換元法，將不等式轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題求解．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=ka^x-a^-x（a＞0且a≠1，k∈R），f（x）是定義域?yàn)镽上的奇函數(shù)，
∴f（0）=0，
可得：k=1，
∴f（x）=a^x-a^-x，
那么：f（-x）=a^-x-a^x=-f（x），
即f（x）是R上的奇函數(shù)．
（2）由題意：設(shè)x₂＞x₁，則$f（{x_2}）-f（{x_1}）={a^{x_2}}-\frac{1}{{{a^{x_2}}}}-（{a^{x_1}}-\frac{1}{{{a^{x_1}}}}）=（{a^{x_2}}-{a^{x_1}}）（1+\frac{1}{{{a^{x_2}}{a^{x_1}}}}）$，
∵a＞1，
∴${a^{x_2}}＞{a^{x_1}}$，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，
∴f（x）在R上為增函數(shù)；
（3）由題意，a=3，若f（3x）≥λ•f（x），即3^3x-3^-3x≥λ（3^x-3^-x），在x∈[1，2]時(shí)恒成立，
令t=3^x-3^-x，x∈[1，2]，
則$t∈[\frac{8}{3}，\frac{80}{9}]$，
故得（3^x-3^-x）（3^2x+1+3^-2x）≥λ（3^x-3^-x），x∈[1，2]恒成立轉(zhuǎn)化為$t（{t^2}+3）≥λ•t，t∈[\frac{8}{3}，\frac{80}{9}]$恒成立，
化簡(jiǎn)得：λ≤t²+3，$t∈[\frac{8}{3}，\frac{80}{9}]$恒成立，
當(dāng)$t=\frac{8}{3}$時(shí)，${（{t^2}+3）_{min}}=\frac{91}{9}$
∴$λ≤\frac{91}{9}$，
故得λ的最大整數(shù)為10．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了指數(shù)函數(shù)的計(jì)算和函數(shù)性質(zhì)之奇函數(shù)的運(yùn)用，單調(diào)性的定義的證明函數(shù)單調(diào)性問題以及恒成立問題的轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題求解．屬于中檔題．