Question

17．已知函數(shù)$f（x）=a{x^3}-2{x^2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}$，若f（x）至少存在一個大于0的零點x₀，則實數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． $（-∞，-\frac{10}{3}]$
• B． $[-\frac{10}{3}，+∞）$
• C． $（-∞，\frac{7}{6}]$
• D． $[\frac{7}{6}，+∞）$

Answer 1

分析 根據(jù)三次函數(shù)的圖象和性質(zhì)和二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得當a＜0時和a=0時均滿足條件，故實數(shù)a的取值范圍包括所有非正數(shù)，進而用排除法，可得答案．

解答 解：當a＜0時，
若x→+∞，則$f（x）=a{x^3}-2{x^2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}$→-∞，而f（0）=$\frac{1}{3}$＞0，
故f（x）至少存在一個大于0的零點x₀，滿足條件；
故排除B，D；
當a=0時，$f（x）=-2{x}^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}$有兩個異號的零點，滿足條件；
故排除A，
故選：C．

點評 本題考查的知識點是函數(shù)的零點的判斷定理，零點的存在性及個數(shù)判斷，難度中檔．