3.已知雙曲線$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{27}=1$與點(diǎn)M(5,3),F(xiàn)為右焦點(diǎn),若雙曲線上有一點(diǎn)P,則$PM+\frac{1}{2}PF$的最小值為$\frac{7}{2}$.

分析 由題意可知:雙曲線的第二定義可知:$\frac{丨PF丨}{丨PN丨}$=e,可得丨PF丨=e丨PN丨=2丨PN丨,丨PN丨=$\frac{1}{2}$丨PF丨,丨PM丨+$\frac{1}{2}$丨PF丨=丨PM丨+丨PN丨,當(dāng)且僅當(dāng)M、N、P三點(diǎn)共線時(shí)丨PM丨+丨PN丨=丨MN丨時(shí)取最小值,代入求得P點(diǎn)坐標(biāo),即可求得丨PM丨+$\frac{1}{2}$丨PF丨的最小值為丨MN丨=$\frac{7}{2}$.

解答 解:雙曲線$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{27}=1$,焦點(diǎn)在x軸上,a=3,b=3$\sqrt{3}$,c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=6,
由雙曲線離心率e=$\frac{c}{a}$=2,右準(zhǔn)線為x=$\frac{{a}^{2}}{c}$=$\frac{3}{2}$,
作MN⊥l于N,交雙曲線右支于P,連結(jié)FP,則
由雙曲線的第二定義可知:$\frac{丨PF丨}{丨PN丨}$=e,可得丨PF丨=e丨PN丨=2丨PN丨,
∴丨PN丨=$\frac{1}{2}$丨PF丨,
因此丨PM丨+$\frac{1}{2}$丨PF丨=丨PM丨+丨PN丨,
當(dāng)且僅當(dāng)M、N、P三點(diǎn)共線時(shí)丨PM丨+丨PN丨=丨MN丨時(shí)取最小值,
此時(shí),在雙曲線$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{27}=1$中,令y=3,解得:x=±2$\sqrt{3}$,
∴x>0,
∴取x=2$\sqrt{3}$,
即當(dāng)P的坐標(biāo)為(2$\sqrt{3}$,3)時(shí)丨PM丨+$\frac{1}{2}$丨PF丨的最小值為丨MN丨=$\frac{7}{2}$.
丨PM丨+$\frac{1}{2}$丨PF丨的最小值為$\frac{7}{2}$.
故答案為:$\frac{7}{2}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與雙曲線的位置關(guān)系,考查雙曲線的第二定義的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于中檔題

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13.下列命題中:
①命題P:?x∈R使得2x2-1<0”,則¬P是假命題;
②“若x+y=0,則x,y互為相反數(shù)”的逆命題為假命題;
③?x∈R,若x>210,則x>2100”;
④命題“若p,則q”的逆否命題是“若¬q則¬p”,
其中真命題的序號(hào)是①④.

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11.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且${S_n}={n^2}-8n$
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)求Sn的最小值及其相應(yīng)的n的值.

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18.已知函數(shù)$f(x)=2sinxcosx+\frac{cos2x}{2}+3{sin^2}x+\frac{1}{2}$.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間;
(2)將函數(shù)f(x)的圖象向左平移$\frac{π}{4}$個(gè)單位,再向下平移2個(gè)單位,得到函數(shù)g(x)的圖象,求函數(shù)g(x)在區(qū)間上$[{-\frac{π}{6},-\frac{π}{12}}]$的值域.

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8.已知命題p:?x0<0,sinx0>0且tanx0>0,則命題p的否定為( 。
A.?x<0,sinx≤0或tanx≤0B.?x<0,sinx≤0且tanx≤0
C.?x≥0,sinx≤0或tanx≤0D.?x≥0,sinx≤0且tanx≤0

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15.已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的部分圖象如圖所示,且$A({\frac{π}{2},1}),B({π,-1})$,則φ值為-$\frac{5π}{6}$.

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12.圓(x-$\frac{3}{2}$)2+y2=$\frac{25}{4}$經(jīng)過(guò)橢圓C的三個(gè)頂點(diǎn),則橢圓C的離心率為( 。
A.$\frac{1}{2}$B.$\frac{\sqrt{3}}{2}$C.$\frac{1}{2}$或$\frac{\sqrt{3}}{2}$D.$\frac{\sqrt{3}}{3}$或$\frac{\sqrt{3}}{2}$

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18.已知集合A={x|-2<x<2},B={x|(x+1)(x-3)≤0},則A∩(∁RB)=( 。
A.(-1,2)B.(-2,-1]C.(-2,-1)D.(2,3)

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