16．方程f（x）=x的根稱為函數(shù)f（x）的不動點，若函數(shù)f（x）=$\frac{x}{a（x+2）}$有唯一不動點，且x1=1000，xn+1=$\frac{1}{{f（\frac{1}{x_n}）}}$，n=1，2，3，…，則x2015=2007．

分析 先根據(jù)$\frac{x}{a（x+2）}$=x轉(zhuǎn)化為二次方程，再由函數(shù)f（x）=$\frac{x}{a（x+2）}$有唯一不動點可求出a的值，然后代入確定函數(shù)f（x）的解析式，進(jìn)而可得到xn+1、xn的關(guān)系，再由等差數(shù)列的通項公式可得到最后答案．

解答 解：由$\frac{x}{a（x+2）}$=x得ax2+（2a-1）x=0．
因為f（x）有唯一不動點，
所以2a-1=0，即a=$\frac{1}{2}$．
所以f（x）=$\frac{x}{a（x+2）}$，
所以xn+1=$\frac{1}{{f（\frac{1}{x_n}）}}$═xn+$\frac{1}{2}$．
所以x2015=x1+$\frac{1}{2}$×2014=1000+1007=2007．
故答案為：2007．

點評 本題主要考查函數(shù)不動點的知識、考查數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)以及等差數(shù)列的通項公式的表示法．

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