Question

3．在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD=DC=1，AB=2，E、F分別為AB、BC的中點(diǎn)．點(diǎn)P在以A為圓心，AD為半徑的圓弧$\widehat{DE}$上運(yùn)動(dòng)（如圖所示），若 $\overrightarrow{AP}$=λ $\overrightarrow{ED}$+μ $\overrightarrow{AF}$，其中λ，μ∈R．則$\frac{2λ}{μ}$的取值范圍是[-1，3]．

Answer 1

分析 建立如圖所示的坐標(biāo)系，則A（0，0），E（1，0），D（0，1），F(xiàn)（1.5，0.5），P（cosα，sinα）（0°≤α≤90°），λ，μ用參數(shù)進(jìn)行表示，再利用函數(shù)的單調(diào)性即可求出范圍

解答 解：建立如圖所示的坐標(biāo)系，則A（0，0），E（1，0），D（0，1），F(xiàn)（1.5，0.5），P（cosα，sinα）（0°≤α≤90°），
∵$\overrightarrow{AP}$=λ $\overrightarrow{ED}$+μ $\overrightarrow{AF}$，
∴（cosα，sinα）=λ（-1，1）+μ（1.5，0.5），
∴cosα=-λ+1.5μ，sinα=λ+0.5μ，
∴λ=$\frac{1}{4}$（3sinα-cosα），μ=$\frac{1}{2}$（cosα+sinα），
∴$\frac{2λ}{μ}$=$\frac{3sinα-cosα}{cosα+sinα}$=$\frac{3tanα-1}{tanα+1}$=3-$\frac{4}{1+tanα}$，
設(shè)f（α）=3-$\frac{4}{1+tanα}$，易知函數(shù)f（α）為增函數(shù)，
∵0≤α≤90°，
∴f（0）≤f（α）≤f（90°）
∴-1≤f（α）≤3
∴$\frac{2λ}{μ}$的取值范圍是[-1，3]．
故答案為：[-1，3]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確利用坐標(biāo)系是關(guān)鍵，屬于中檔題