Question

10．已知在直角坐標(biāo)系中（O為坐標(biāo)原點），$\overrightarrow{OA}$=（2，5），$\overrightarrow{OB}$=（3，1），$\overrightarrow{OC}$=（x，3）．
（1）若A、B、C共線，求x的值；
（2）當(dāng)x=6時，直線OC上存在點M，且$\overrightarrow{MA}$⊥$\overrightarrow{MB}$，求點M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由A、B、C共線，即$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{BC}$共線，利用向量共線定理即可得出．
（2）$\overrightarrow{OM}$與$\overrightarrow{OC}$共線，故設(shè)$\overrightarrow{OM}$=λ$\overrightarrow{OC}$=（6λ，3λ）．又$\overrightarrow{MA}$⊥$\overrightarrow{MB}$，可得$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=0．即45λ²-48λ+11=0，解得$λ=\frac{1}{3}$或$λ=\frac{11}{15}$．即可得出．

解答 解：（1）∵A、B、C共線，即$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{BC}$共線，
而$\overrightarrow{AB}$=（1，-4），$\overrightarrow{BC}$=（x-3，2），則有1×2+4×（x-3）=0．
即x的值是x=$\frac{5}{2}$．
（2）∵$\overrightarrow{OM}$與$\overrightarrow{OC}$共線，故設(shè)$\overrightarrow{OM}$=λ$\overrightarrow{OC}$=（6λ，3λ）．
又∵$\overrightarrow{MA}$⊥$\overrightarrow{MB}$，∴$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=0．
即45λ²-48λ+11=0，解得$λ=\frac{1}{3}$或$λ=\frac{11}{15}$．
∴$\overrightarrow{OM}$=（2，1）或$\overrightarrow{OM}$=（$\frac{22}{5}，\frac{11}{5}$）．
∴點M坐標(biāo)為（2，1）或（$\frac{22}{5}，\frac{11}{5}$）．

點評 本題考查了向量共線定理、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．