Question

1．已知 b=a³+$\frac{1}{1+a}$，a∈[0，1]．  證明：
（1）b≥1-a+a²．
（2）$\frac{3}{4}$＜b≤$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （1）利用作差法，即可證明結(jié)論；
（2）利用配方法，即可證明結(jié)論．

解答 證明：（1）因?yàn)?-a+a²-a³=$\frac{{1-{{（-a）}^4}}}{{1-（{-a}）}}=\frac{{1-{a^4}}}{1+a}$，
由于0≤a≤1，有$\frac{{1-{a^4}}}{1+a}≤\frac{1}{1+a}$，即1-a+a²-a³≤$\frac{1}{1+a}$，
所以b≥1-a+a²．…..（6分）
（2）由0≤a≤1得a³≤a，故
b=a³+$\frac{1}{1+a}$≤a+$\frac{1}{1+a}$=a+$\frac{1}{1+a}$-$\frac{3}{2}$+$\frac{3}{2}$=$\frac{{（{a-1}）（{2a+1}）}}{{2（{a+1}）}}+\frac{3}{2}≤\frac{3}{2}$，
所以b≤$\frac{3}{2}$，
由（1）得b≥1-a+a²=${（{a-\frac{1}{2}}）^2}+\frac{3}{4}≥\frac{3}{4}$，
又因?yàn)楫?dāng)$a=\frac{1}{2}$時(shí)，b=$\frac{19}{24}$＞$\frac{3}{4}$，所以b＞$\frac{3}{4}$，
綜上，$\frac{3}{4}$＜b≤$\frac{3}{2}$．…..（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，考查作差法、配方法的運(yùn)用，屬于中檔題．