Question

14．已知函數(shù)f（x）=x²+（m-1）x+1
（1）當(dāng)m＞0且f（x）的最小值為-3時(shí)，求m的值，并寫(xiě)出此時(shí)f（x）的單調(diào)區(qū)間
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）表示出f（x）的最小值，得到關(guān)于m的方程，解出m的值，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）當(dāng)m=0時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)不滿足條件．當(dāng)f（x）在[0，2]上有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，求出m的值．當(dāng)f（x）在[0，2]上有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，求出m的取值范圍，再取并集即得所求．

解答 解：（1）f（x）的最小值是$\frac{4{-（m-1）}^{2}}{4}$=-3，解得：m=5；
故f（x）=x²+4x+1，對(duì)稱軸是x=-2，
故f（x）在（-∞，-2）遞減，在（-2，+∞）遞增；
（2）當(dāng)m=0時(shí)，函數(shù)f（x）=x²-x+1，在區(qū)間[0，2]上沒(méi)有零點(diǎn)，不滿足條件，故舍去．
當(dāng)f（x）在[0，2]上有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，此時(shí)①$\left\{\begin{array}{l}{△{=（m-1）}^{2}-4=0}\\{0≤-\frac{m-1}{2}≤2}\end{array}\right.$，或 ②$\left\{\begin{array}{l}{△{=（m-1）}^{2}-4＞0}\\{f（0）•f（2）＜0}\end{array}\right.$成立，
解①得 m=-1，解②得 m＜-$\frac{3}{2}$，
當(dāng)f（x）在[0，2]上有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，此時(shí) $\left\{\begin{array}{l}{△{=（m-1）}^{2}-4＞0}\\{0≤-\frac{m-1}{2}≤2}\\{f（0）≥0}\\{f（2）≥0}\end{array}\right.$，解得-$\frac{3}{2}$≤m＜-1，
綜上可得，實(shí)數(shù)m的取值范圍[-∞，-1]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)與方程之間的關(guān)系，二次函數(shù)在給定區(qū)間上的零點(diǎn)問(wèn)題，要注意函數(shù)圖象與x軸相切的情況，屬于中檔題．