Question

9．斜率為2的直線l與橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$交于不同的兩點，且這兩個交點在x軸上的射影恰好是橢圓的兩個焦點，則該橢圓的離心率為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• B． $\sqrt{2}-1$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$

Answer 1

分析 由橢圓的焦點坐標(biāo)，則兩個交點分別為（-c，-2c），（c，2c），代入橢圓方程，根據(jù)橢圓的性質(zhì)及離心率公式，即可求得橢圓的離心率．

解答 解：橢圓的焦點在x軸上，F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），則兩個交點分別為（-c，-2c），（c，2c），
代入橢圓$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{4{c}^{2}}{^{2}}=1$，整理得：c²（b²+4a²）=a²b²
∵b²=a²-c²，整理得：c⁴-6a²c²+a⁴=0，
由e=$\frac{c}{a}$，整理得：e⁴-6e²+1=0，解得：e²=3±2$\sqrt{2}$，
∵0＜e＜1，則e²=3-2$\sqrt{2}$=（$\sqrt{2}$-1）²，
∴e=$\sqrt{2}$-1，
故選B．

點評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查橢圓的離心率公式，考查計算能力，屬于中檔題．