Question

19．如圖所示，靜止于A處的帶正電粒子，經(jīng)加速電場(chǎng)加速度后沿圖中$\frac{1}{4}$圓弧虛線通過(guò)靜電分析器，從P點(diǎn)垂直CN豎直向上進(jìn)入矩形區(qū)域的有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)（磁場(chǎng)方向如圖所示，其CNQD為勻強(qiáng)磁場(chǎng)的邊界）．靜電分析器通道內(nèi)有均勻輻向分布的電場(chǎng)，方向如圖所示．已知加速電場(chǎng)的電壓為U，圓弧虛線的半徑為R，粒子質(zhì)量為m，電荷量為q，QN=2d，PN=3d，粒子重力不計(jì)．
（1）求粒子在輻向電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)其所在處的電場(chǎng)強(qiáng)度E的大��；
（2）若粒子恰好能打在N點(diǎn)，求距形區(qū)域QNCD內(nèi)勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的值；
（3）要求帶電粒子最終能打在QN上，求磁場(chǎng)感應(yīng)強(qiáng)度大小B的取值落圍及出射點(diǎn)離Q點(diǎn)的最近距離．

Answer 1

分析 （1）由動(dòng)能定理求出離開加速電場(chǎng)的速度，進(jìn)入輔向電場(chǎng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，電場(chǎng)力提供向心力，從而求得輻向電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度的大�。�
（2）粒子打在N點(diǎn)，由幾何關(guān)系知道粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為$\frac{3}{2}d$，由洛侖茲力提供向心力從而求得矩形磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大�。�
（3）要使粒子打在QN上，則畫出臨界狀態(tài)的軌跡，由幾何關(guān)系求出最大半徑和最小半徑，由半徑公式確定磁感應(yīng)強(qiáng)度的范圍．離Q點(diǎn)最近的則是軌跡與DQ相切的那條軌跡，由幾何關(guān)系求出最近距離．

解答 解：（1）粒子在加速電場(chǎng)中加速，根據(jù)動(dòng)能定理有：$qU=\frac{1}{2}m{v}^{2}$．
粒子在輻向電場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，電場(chǎng)力提供向心力，有：qE=$m\frac{{v}^{2}}{R}$  
解得：E=$\frac{2U}{R}$
（2）粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛侖茲力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律可知：$qBv=m\frac{{v}^{2}}{r}$
則 $r=\frac{mv}{qB}$，粒子恰好能打在N點(diǎn)，則r=$\frac{3}{2}d$，可得：B=$\frac{2}{3d}\sqrt{\frac{2mU}{q}}$
（3）粒子能打在QN上，則既沒有從DQ邊出去也沒有從PN邊出去，則粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡的邊界如圖，
由幾何關(guān)系可知，粒子能打到QN上，必須滿足：$\frac{3}{2}d＜r≤2d$  
而由$r=\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2mU}{q}}$  則有$\frac{1}{2d}\sqrt{\frac{2mU}{q}≤B＜\frac{2}{3d}\sqrt{\frac{2mU}{q}}}$
由圖可得，F(xiàn)點(diǎn)離Q點(diǎn)最近，F(xiàn)O=2d，NO=d，則FN=$\sqrt{3}d$  
所以有：QF=$（2-\sqrt{3}）d$．
答：（1）粒子在輻向電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)其所在處的電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小為$\frac{2U}{R}$．
（2）若粒子恰好能打在N點(diǎn)，距形區(qū)域QNCD內(nèi)勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的值為$\frac{2}{3d}\sqrt{\frac{2mU}{q}}$．
（3）要求帶電粒子最終能打在QN上，磁場(chǎng)感應(yīng)強(qiáng)度大小B的取值落圍是$\frac{1}{2d}\sqrt{\frac{2mU}{q}≤B＜\frac{2}{3d}\sqrt{\frac{2mU}{q}}}$，出射點(diǎn)離Q點(diǎn)的最近距離$（2-\sqrt{3}）d$．

點(diǎn)評(píng) 本題特殊情況：①帶電粒子在輻向電場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，顯然由電場(chǎng)力提供向心力．②再次進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，要考慮邊界問(wèn)題．所以確定圓心，畫出粒子的軌跡是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．