Question

3．物理學(xué)對電場和磁場的研究促進(jìn)了現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，提高了人們的生活水平．
（1）現(xiàn)代技術(shù)設(shè)備中常常利用電場或磁場來改變或控制帶電粒子的運(yùn)動．現(xiàn)有一質(zhì)量為m、電荷量為e的電子由靜止經(jīng)電壓為U的加速電場加速后射出（忽略電子所受重力）．
a．如圖甲所示，若電子從加速電場射出后沿平行極板的方向射入偏轉(zhuǎn)電場，偏轉(zhuǎn)電場可看作勻強(qiáng)電場，板間電壓為U′，極板長度為L，板間距為d，求電子射入偏轉(zhuǎn)電場時速度的大小v以及射出偏轉(zhuǎn)電場時速度偏轉(zhuǎn)角θ的正切值；
b．如圖乙所示，若電子從加速電場射出后沿直徑方向進(jìn)入半徑為r的圓形磁場區(qū)域，該磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直紙面向里．設(shè)電子射出磁場時的速度方向與射入時相比偏轉(zhuǎn)了θ′角，請推導(dǎo)說明增大偏轉(zhuǎn)角θ′的方法（至少說出兩種）．
（2）磁場與電場有諸多相似之處．電場強(qiáng)度的定義式E=$\frac{F}{q}$，請你由此類比，從運(yùn)動電荷所受的洛倫茲力F_洛出發(fā)，寫出磁感應(yīng)強(qiáng)度B的定義式；并從宏觀與微觀統(tǒng)一的思想出發(fā)構(gòu)建一個合適的模型，推理論證該定義式與B=$\frac{{F}_{安}}{IL}$這一定義式的一致性．

Answer 1

分析 （1）a．分析可知粒子在加速場中做加速運(yùn)動，運(yùn)用動能定理即可求出粒子的速度，進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場后粒子做類平拋運(yùn)動，運(yùn)用運(yùn)動的合成和分解結(jié)合牛頓第二定律以及速度偏轉(zhuǎn)角公式，聯(lián)立即可求出偏轉(zhuǎn)角θ的正切值；
b．加速過程與a問中相同，進(jìn)入磁場后做勻速圓周運(yùn)動，洛倫茲力提供向心力結(jié)合幾何關(guān)系，求出含θ′的表達(dá)式，改變表達(dá)式中的參量，即可找出使增大偏轉(zhuǎn)角θ′的方法；
（2）建立圍觀模型，通過電流的微觀表達(dá)式I=nqSv，找到q和I之間的關(guān)系，即可證明兩個定義式的一致性．

解答 解：（1）a．在加速電場中，由動能定理可得：eU=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得：v=$\sqrt{\frac{2eU}{m}}$
在偏轉(zhuǎn)電場中，電子做類平拋運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t
有運(yùn)動的分解可知：
水平方向：L=vt
豎直方向：v_y=at，$\frac{U′}bf8mw35e$=ma
速度偏轉(zhuǎn)角正切值為：tanθ=$\frac{{v}_{y}}{v}$
解得：tanθ=$\frac{U′L}{2Ud}$
b．由a問可知，入射電場的速度：v=$\sqrt{\frac{2eU}{m}}$
在勻強(qiáng)磁場中，電子做勻速圓周運(yùn)動，根據(jù)洛倫茲力提供向心力可得：
evB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：R=$\sqrt{\frac{2Um}{e{B}^{2}}}$
電子在磁場中的運(yùn)動軌跡如圖所示

tan$\frac{θ′}{2}$=$\frac{r}{R}$
解得：tan$\frac{θ′}{2}$=r$\sqrt{\frac{e{B}^{2}}{2Um}}$
增大偏轉(zhuǎn)角θ′即增大tan$\frac{θ′}{2}$，可采用的方法有：
增大磁場應(yīng)強(qiáng)度B，增大勻強(qiáng)磁場半徑r，減小加速電壓U
（2）由洛倫茲力公式得：F_洛=qvB可知，B=$\frac{{F}_{洛}}{qv}$
根據(jù)題意構(gòu)建模型如下：
如圖所示，在一勻強(qiáng)磁場中有一段固定的長為L的直導(dǎo)線，已知導(dǎo)線橫截面積為S，
單位體積內(nèi)自由電荷數(shù)為n，導(dǎo)線內(nèi)自由電荷定向運(yùn)動速率為v，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B

則導(dǎo)線內(nèi)自由電荷數(shù)：N=nSL
安培力與洛倫茲力的關(guān)系為：F_安=N•F_洛，
導(dǎo)線內(nèi)電流的微觀表達(dá)式：I=nqSv，
聯(lián)立上面三個式子可得：B=$\frac{{F}_{洛}}{qv}$=$\frac{{F}_{安}}{Nqv}$=$\frac{{F}_{安}}{qv•nSL}$=$\frac{{F}_{安}}{IL}$
即定義式：B=$\frac{{F}_{洛}}{qv}$與B=$\frac{{F}_{安}}{IL}$這一定義式是一致的．
答：（1）a．電子射入偏轉(zhuǎn)電場時速度的大小v為$\sqrt{\frac{2eU}{m}}$，射出偏轉(zhuǎn)電場時速度偏轉(zhuǎn)角θ的正切值為$\frac{U′L}{2Ud}$；
b．增大偏轉(zhuǎn)角θ′的方法：增大磁場應(yīng)強(qiáng)度B，增大勻強(qiáng)磁場半徑r，減小加速電壓U；
（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度B的定義式為B=$\frac{{F}_{洛}}{qv}$，證明過程見解析．

點(diǎn)評 本題考查帶電粒子在復(fù)合場中的運(yùn)動，解題的關(guān)鍵是要正確畫出粒子軌跡過程圖，明確每一個過程粒子的運(yùn)動性質(zhì)，針對每一個過程選擇合適的規(guī)律解決問題；第二問較難，要根據(jù)兩個定義式中的物理量建立微觀物理模型才能證明出兩個定義式的一致性．