Question

12．某種彈射裝置的示意圖如圖所示，光滑的水平導(dǎo)軌MN右端N處于傾斜傳送帶理想連接，傳送帶長(zhǎng)度L=15.0m，皮帶以恒定速率v=5m/s順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，三個(gè)質(zhì)量均為m=1.0kg的滑塊A、B、C置于水平導(dǎo)軌上，B、C之間有一段輕彈簧剛好處于原長(zhǎng)，滑塊B與輕彈簧連接，C未連接彈簧，B、C處于靜止?fàn)顟B(tài)且離N點(diǎn)足夠遠(yuǎn)，現(xiàn)讓滑塊A以初速度v₀=6m/s沿B、C連線方向向B運(yùn)動(dòng)，A與B碰撞后粘合在一起．碰撞時(shí)間極短，滑塊C脫離彈簧后滑上傾角θ=37°的傳送帶，并從頂端沿傳送帶方向滑出斜拋落至地面上，已知滑塊C與傳送帶之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.8，重力加速度g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．
（1）滑塊A、B碰撞時(shí)損失的機(jī)械能；
（2）滑塊C在傳送帶上因摩擦產(chǎn)生的熱量Q；
（3）若每次實(shí)驗(yàn)開(kāi)始時(shí)滑塊A的初速度v₀大小不相同，要使滑塊C滑離傳送帶后總能落至地面上的同一位置，則v₀的取值范圍是什么？（結(jié)果可用根號(hào)表示）

Answer 1

分析 （1）A、B碰撞過(guò)程水平方向的動(dòng)量守恒，由此求出二者的共同速度；由功能關(guān)系即可求出損失的機(jī)械能；
（2）A、B碰撞后與C作用的過(guò)程中ABC組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，應(yīng)用動(dòng)量守恒定律與能量守恒定律可以求出C與AB分開(kāi)后的速度，C在傳送帶上做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律求出加速度，然后應(yīng)用勻變速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律求出C相對(duì)于傳送帶運(yùn)動(dòng)時(shí)的相對(duì)位移，由功能關(guān)系即可求出摩擦產(chǎn)生的熱量．
（3）應(yīng)用動(dòng)量守恒定律、能量守恒定律與運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可以求出滑塊A的最大速度和最小速度．

解答 解：（1）A與B位于光滑的水平面上，系統(tǒng)在水平方向的動(dòng)量守恒，設(shè)A與B碰撞后共同速度為v₁，選取向右為正方向，對(duì)A、B有：
mv₀=2mv₁…①
碰撞時(shí)損失機(jī)械能$△E=\frac{1}{2}mv_0^2-\frac{1}{2}（2m）v_1^2$…②
解得△E=9J
（2）設(shè)A、B碰撞后，彈簧第一次恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)AB的速度為v_B，C的速度為v_C．
由動(dòng)量守恒：2mv₁=2mv_B+mv_C…③
由機(jī)械能守恒：$\frac{1}{2}（2m）v_1^2=\frac{1}{2}（2m）v_B^2+\frac{1}{2}mv_C^2$…④
解得：v_c=4m/s
C以v_c滑上傳送帶，假設(shè)勻加速的直線運(yùn)動(dòng)位移為S時(shí)與傳送帶共速，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公有：
式${a}_{1}=μgcosθ-gsinθ=0.8×10×0.8-10×0.6=0.4m/{s}^{2}$
結(jié)合：${v^2}-{v_c}^2=2{a_1}x$，
聯(lián)立解得：x=11.25m＜L
加速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，有：$t=\frac{v-{v}_{C}}{{a}_{1}}=\frac{5-4}{0.4}=2.5s$…⑤
所以相對(duì)位移△x=vt-x
代入數(shù)據(jù)得：△x=1.25m…⑥
摩擦生熱Q=umgcosθ•△x=8J
（3）設(shè)A的最大速度為v_max，滑塊C與彈簧分離時(shí)C的速度為v_c1，AB的速度為v_B1，則C在傳送帶上一直做加速度為a₂的勻減速直線運(yùn)動(dòng)直到P點(diǎn)與傳送帶共速，有：${v^2}-{v_{c1}}^2=2{a_2}L$…⑦
加速度：${a_2}=-gsinθ-μgcosθ=-12.4m/{s^2}$
解得：${v_{c1}}=\sqrt{397}m/s$
設(shè)A的最小速度為v_min，滑塊C與彈簧分離時(shí)C的速度為v_C2，AB的速度為v_B1，則C在傳送帶上一直做加速度為a₁的勻加速直線運(yùn)動(dòng)直到P點(diǎn)與傳送帶共速，有：${v^2}-{v_{c2}}^2=2{a_1}L$…⑧
解得：${v_{c2}}=\sqrt{13}m/s$．
對(duì)A、B、C和彈簧組成的系統(tǒng)從AB碰撞后到彈簧第一次恢復(fù)原長(zhǎng)的過(guò)程中，有：
mv_max=2mv_B1+mc_C1…⑨
機(jī)械能守恒：$\frac{1}{2}（2m）v_1^2=\frac{1}{2}（2m）v_{B1}^2+\frac{1}{2}mv_{C1}^2$…⑩
解得${v_{max}}=\frac{3}{2}{v_{c1}}=\frac{3}{2}\sqrt{397}m/s$，
同理，${v_{min}}=\frac{3}{2}\sqrt{13}m/s$
所以$\frac{3}{2}\sqrt{13}m/s≤{v_0}≤\frac{3}{2}\sqrt{397}m/s$
答：（1）滑塊A、B碰撞時(shí)損失的機(jī)械能是9J；
（2）滑塊C在傳送帶上因摩擦產(chǎn)生的熱量是8J；
（3）若每次實(shí)驗(yàn)開(kāi)始時(shí)滑塊A的初速度v₀大小不相同，要使滑塊C滑離傳送帶后總能落至地面上的同一位置，則v₀的取值范圍是$\frac{3}{2}\sqrt{13}m/s≤{v_0}≤\frac{3}{2}\sqrt{397}m/s$．

點(diǎn)評(píng) 本題著重考查碰撞中的動(dòng)量守恒和能量守恒問(wèn)題，同時(shí)借助傳送帶考查到物體在恒定摩擦力作用下的勻減速運(yùn)動(dòng)，還需用到平拋的基本知識(shí)，這是力學(xué)中的一道知識(shí)點(diǎn)比較多的綜合題，學(xué)生在所涉及的知識(shí)點(diǎn)中若存在相關(guān)知識(shí)缺陷．