Question

10．如圖所示，小球沿水平面通過(guò)O點(diǎn)進(jìn)入半徑為R的半圓弧軌道后恰能通過(guò)最高點(diǎn)P，然后落回水平面．不計(jì)一切阻力． 求：
（1）小球落地點(diǎn)離O點(diǎn)的水平距離為多少？
（2）若將半圓弧軌道的上半部分截去，其他條件不變，則小球能達(dá)到的最大高度比P點(diǎn)高多少？

Answer 1

分析 （1）到達(dá)最高點(diǎn)對(duì)軌道無(wú)壓力，根據(jù)牛頓第二定律求得速度，從最高點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋規(guī)律即可求得小球落地點(diǎn)離O點(diǎn)的水平距離；
（2）截去前對(duì)小球從O到P運(yùn)用動(dòng)能定理，半圓弧軌道的上半部分截去后，小球從軌道滑出，做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)速度減為0，對(duì)全過(guò)程運(yùn)用動(dòng)能定理，聯(lián)立兩個(gè)過(guò)程的動(dòng)能定理，即可求解小球能達(dá)到的最大高度比P點(diǎn)高多少．

解答 解：（1）小球恰能通過(guò)最高點(diǎn)P，則在最高點(diǎn)P時(shí)，小球重力恰好提供向心力，
可得：mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
離開(kāi)P點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋規(guī)律有：x=vt，2R=$\frac{1}{2}$gt²，
聯(lián)立解得：x=2R
（2）半圓弧軌道分析小球由O到P的過(guò)程，由動(dòng)能定理得：
-2mgR=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$mv₀²
將半圓弧軌道的上半部分截去后，$\frac{1}{4}$圓弧軌道分析小球由O到最高點(diǎn)的過(guò)程，
由動(dòng)能定理得：-mgh=0-$\frac{1}{2}$mv₀²
聯(lián)立可得：h=$\frac{5}{2}R$
則小球能達(dá)到的最大高度比P點(diǎn)高△h=h-2R=$\frac{1}{2}R$
答：（1）小球落地點(diǎn)離O點(diǎn)的水平距離為2R；
（2）若將半圓弧軌道的上半部分截去，其他條件不變，則小球能達(dá)到的最大高度比P點(diǎn)高$\frac{1}{2}$R．

點(diǎn)評(píng) 本題考查動(dòng)能定理的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要分析清楚物體的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，知道小球在豎直明面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)恰好通過(guò)P點(diǎn)的條件，然后結(jié)合平拋運(yùn)動(dòng)和動(dòng)能定理的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行研究．