1.一個(gè)與自然數(shù)n有關(guān)的命題當(dāng)n=2時(shí)成立,且由n=k時(shí)成立可以推得n=k+2時(shí)也成立,則(  )

A.該命題對(duì)于n＞2的自然數(shù)n都成立

B.該命題對(duì)于所有的正偶數(shù)都成立

C.該命題何時(shí)成立與k取什么值有關(guān)

D.以上答案都不對(duì)

答案B

2.在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的對(duì)角線為(n-3)條時(shí),第一步應(yīng)驗(yàn)證n等于(    )

A.0                B.1                 C.2                  D.3

答案 D

3.某個(gè)命題與正整數(shù)n有關(guān),若n=k(k∈N*)時(shí),該命題成立,那么可推得n=k+1時(shí),該命題也成立.現(xiàn)在已知當(dāng)n=5時(shí),該命題不成立,那么可推得(    )

A.當(dāng)n=6時(shí)該命題不成立                        B.當(dāng)n=6時(shí)該命題成立

C.當(dāng)n=4時(shí)該命題不成立                        D.當(dāng)n=4時(shí)該命題成立

分析 本題借助數(shù)學(xué)歸納法考查四種命題間的關(guān)系,即原命題與其逆否命題等價(jià),逆命題與否命題等價(jià).

解 ∵n=k時(shí)命題成立n=k+1時(shí)命題成立,

其逆否命題是“n=k+1時(shí)命題不成立n=k時(shí)命題不成立”,

∴n=5時(shí)命題不成立n=4時(shí)命題不成立.

答案 C

4.用數(shù)學(xué)歸納法證明“1+2+2²+…+2^n-1=2ⁿ-1(n∈N*)”的過(guò)程中,第二步假設(shè)n=k時(shí)等式成立,則n=k+1時(shí)應(yīng)得到(    )

A.1+2+2²+…+2^k-1=2^k+1-1

B.1+2+2²+…+2^k+2^k+1=2^k-1+2^k+1

C.1+2+2²+…+2^k-1+2^k+1=2^k+1-1

D.1+2+2²+…+2^k-1+2^k=2^k-1+2^k

答案 D

5.設(shè)凸k邊形的內(nèi)角和為f(k),則凸k+1邊形的內(nèi)角和f(k+1)=f(k)+(    )

A.2π               B.π                  C.                    D.

解析 因?yàn)樵黾右粭l邊,凸多邊形的內(nèi)角和將增加一個(gè)三角形的內(nèi)角和,所以凸多邊形的內(nèi)角和將增加π.

答案 B

6.對(duì)于不等式＜n+1(n∈N*),某同學(xué)的證明過(guò)程如下:

(1)當(dāng)n=1時(shí), ＜1+1,不等式成立.

(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時(shí),不等式成立,即＜k+1,則當(dāng)n=k+1時(shí), ＜,

∴當(dāng)n=k+1時(shí),不等式成立.

上述證法(    )

A.過(guò)程全部正確

B.n=1驗(yàn)得不正確

C.歸納假設(shè)不正確

D.從n=k到n=k+1的推理不正確

解析 用數(shù)學(xué)歸納法證題的關(guān)鍵在于合理運(yùn)用歸納假設(shè).

答案 D

7.下列代數(shù)式能被9整除(其中k∈N*)的是 (    )

A.6+6?7^k               B.2+7^k-1              C.2(2+7^k+1)             D.3(2+7^k)

分析 本題考查用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性問(wèn)題.

解 (1)當(dāng)k=1時(shí),顯然只有3(2+7^k)能被9整除.

(2)假設(shè)當(dāng)k=n時(shí),命題成立,即3(2+7ⁿ)能被9整除,那么3(2+7ⁿ⁺¹)=21(2+7ⁿ)-36.

這就是說(shuō),k=n+1時(shí)命題也成立.

由(1)、(2)可知,命題3(2+7^k)對(duì)任何k∈N*都成立.

答案 D

8.設(shè)f(n)=,n∈N*,那么f(n+1)-f(n)等于(    )

A.                         B.

C.+                 D.-

分析 用數(shù)學(xué)歸納法證明有關(guān)問(wèn)題時(shí),分清等式兩邊的構(gòu)成情況是解題的關(guān)鍵.顯然,當(dāng)自變量取n時(shí),等式的左邊是n項(xiàng)和的形式.

解答案 D

9.使得多項(xiàng)式81x⁴+108x³+54x²+12x+1能被5整除的最小自然數(shù)x為(    )

A.1                 B.2                  C.3                     D.4

分析 本題逆用二項(xiàng)式定理的展開(kāi)式證明整除性問(wèn)題.

解 ∵81x⁴+108x³+54x²+12x+1=(3x+1)⁴,

∴該式能被5整除的最小自然數(shù)x為3.

答案 C

10.★用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1+++…+＞成立,則n取的第一個(gè)值應(yīng)為(   )

A.7                 B.8                 C.9                  D.10

分析 本題考查用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式.

解 ∵1+++…+是首項(xiàng)為1,公比為的等比數(shù)列前n項(xiàng)的和,

∴1+++…+=1--=2-.

由2-＞,知＜,n最小取8.

答案 B

第Ⅱ卷(非選擇題共60分)

11.用數(shù)學(xué)歸納法證明“1+a+a²+…+aⁿ⁺¹=(a≠1且n∈N*)”,在驗(yàn)證n=1時(shí),左邊計(jì)算所得的結(jié)果是.

解析 本題考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用.用數(shù)學(xué)歸納法證題的前提是分清等式兩邊的構(gòu)成情況.就本題而言,它的左邊是按a的升冪排列的,共有(n+2)項(xiàng),故當(dāng)n取第一個(gè)值時(shí),共有1+2=3項(xiàng),它們的和應(yīng)是1+a+a².

答案 1+a+a²

12.用數(shù)學(xué)歸納法證明n∈N*時(shí),3⁴ⁿ⁺²+5²ⁿ⁺¹被14整除的過(guò)程中,當(dāng)n=k+1時(shí),對(duì)3^4(k+1)+2+5^2(k+1)+1可變形為          .

分析 用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性問(wèn)題時(shí),可把n=k+1時(shí)的被除式變形為一部分能利用歸納假設(shè)的形式,另一部分能被除式整除的形式.

解3^4(k+1)+2+5^2(k+1)+1=3^4k+6+5^2k+3=3^4k+6+3⁴?5^2k+1+5^2k+3-3⁴?5^2k+1=3⁴(3^4k+2+5^2k+1)-56?5^2k+1.

答案 81(3^4k+2+5^2k+1)-56?5^2k+1

13.★在用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+2²+…+2^5n-1(n∈N*)是31的倍數(shù)的命題時(shí),從k到k+1需要添加的項(xiàng)是            .

分析 分清被除數(shù)的構(gòu)成情況是解決本題的關(guān)鍵.當(dāng)自變量取n時(shí),被除數(shù)是5n項(xiàng)的和,其指數(shù)從0依次增加到5n-1.

解 當(dāng)n=k+1時(shí),被除數(shù)為1+2+2²+…+2^5k-1+2^5k+2^5k+1+…+2^5k+4,

從n=k到n=k+1增加的項(xiàng)為2^5k+2^5k+1+2^5k+2+2^5k+3+2^5k+4.

答案 2^5k+2^5k+1+2^5k+2+2^5k+3+2^5k+4

14.觀察下列式子:1+＜,1++＜,1+++＜,…,則可以猜想其結(jié)論為             .

解析 解答本類題的關(guān)鍵是分清所給式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),確定出不等式右邊的項(xiàng)中分子、分母同項(xiàng)數(shù)的關(guān)系.

答案 1+++…+＜(n≥2)

15(本小題滿分8分)用數(shù)學(xué)歸納法證明2²+4²+6²+…+(2n)²=n(n+1)(2n+1).

分析 用數(shù)學(xué)歸納法證明代數(shù)恒等式的關(guān)鍵是分清等式兩邊的構(gòu)成情況,合理運(yùn)用歸納假設(shè).

證明 (1)當(dāng)n=1時(shí),左邊=2²=4,右邊=×1×2×3=4,

∴左邊=右邊,即n=1時(shí),命題成立.       1分

(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時(shí)命題成立,即

2²+4²+6²+…+(2k)²=k(k+1)(2k+1),      2分

那么當(dāng)n=k+1時(shí),

2²+4²+…+(2k)²+(2k+2)²=k(k+1)(2k+1)+4(k+1)²    3分

=(k+1)［k(2k+1)+6(k+1)］

=(k+1)(2k²+7k+6)

=(k+1)(k+2)(2k+3)

=(k+1)［(k+1)+1］［2(k+1)+1］,    6分

即n=k+1時(shí),命題成立.              7分

由(1)、(2)可知,命題對(duì)所有n∈N*都成立.     8分

16.(本小題滿分8分)求證:aⁿ⁺¹+(a+1)^2n-1能被a²+a-1整除(n∈N*).

分析 數(shù)學(xué)歸納法可以證明與正整數(shù)n有關(guān)的命題,常見(jiàn)的恒等式、不等式的命題可用數(shù)學(xué)歸納法證明,其他的如整除、幾何方面的命題也可用數(shù)學(xué)歸納法證明.在證明n=k+1時(shí),“配湊”的技巧掌握很重要,要有目的去“配湊”倍數(shù)式子,以及假設(shè)n=k時(shí)的式子.

證明 (1)當(dāng)n=1時(shí),a²+(a+1)=a²+a+1可被a²+a+1整除;

(2)假設(shè)n=k(k∈N*)時(shí),

a^k+1+(a+1)^2k-1能被a²+a+1整除,     2分

則當(dāng)n=k+1時(shí),

a^k+2+(a+1)^2k+1

=a?a^k+1+(a+1)²(a+1)^2k-1

=a?a^k+1+a?(a+1)^2k-1+(a²+a+1)(a+1)^2k-1         5分

=a［a^k+1+(a+1)^2k-1］+(a²+a+1)(a+1)^2k-1,

由假設(shè)可知a［a^k+1+(a+1)^2k-1］能被a²+a+1整除.

∴a^k+2+(a+1)^2k+1也能被a²+a+1整除,       7分

即n=k+1時(shí)命題也成立.

∴對(duì)n∈N*原命題成立.                 8分

17.★(本小題滿分8分)已知數(shù)列,,,…,,…,計(jì)算S₁,S₂,S₃,S₄,根據(jù)計(jì)算結(jié)果,猜想S_n的表達(dá)式,并用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.

分析 本題考查觀察、分析、歸納、發(fā)現(xiàn)規(guī)律的能力,考查數(shù)學(xué)歸納法在等式證明中的應(yīng)用.在用觀察法求數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí),要注意觀察項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的關(guān)系.

解 S₁==;

S₂=+=;

S₃=+=;

S₄=+=.

可以看到,上面表示四個(gè)結(jié)果的分?jǐn)?shù)中,分子與項(xiàng)數(shù)n一致,分母可用項(xiàng)數(shù)n表示為3n+1.于是可以猜想.                    2分

下面我們用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)猜想.

(1)當(dāng)n=1時(shí),左邊=S₁=,

右邊===,

猜想成立.

(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時(shí)猜想成立,即

+++…+=,     4分

那么, +++…++

6分

所以,當(dāng)n=k+1時(shí)猜想也成立.

根據(jù)(1)、(2),可知猜想對(duì)任何n∈N*都成立.        8分

18.(本小題滿分10分)用數(shù)學(xué)歸納法證明1+≤1+++…+≤+n(n∈N*).

分析 本題考查利用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的不等式.合理運(yùn)用歸納假設(shè)后,向目標(biāo)靠攏的過(guò)程中,可以利用證明不等式的一切方法去證明.

證明 (1)當(dāng)n=1時(shí),左式=1+,

右式=+1,∴≤1+≤,命題成立.　　　　2分

(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時(shí)命題成立,即

1+≤1+++…+≤+k,　　　　4分

則當(dāng)n=k+1時(shí),

1+++…++++…+＞1++2^k?=1+.　　　6分

又1+++…++++…+＜+k+2k?=+(k+1),　　8分

即n=k+1時(shí),命題成立.

由(1)、(2)可知,命題對(duì)所有n∈N*都成立.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　10分

19.★(本小題滿分10分)楊輝是中國(guó)南宋末年的一位杰出的數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家.他的數(shù)學(xué)著作頗多,他編著的數(shù)學(xué)書共5種21卷,在他的著作中收錄了不少現(xiàn)已失傳的古代數(shù)學(xué)著作中的算題和算法.他的數(shù)學(xué)研究與教育工作的重點(diǎn)是在計(jì)算技術(shù)方面.楊輝三角是楊輝的一大重要研究成果,它的許多性質(zhì)與組合數(shù)的性質(zhì)有關(guān),楊輝三角中蘊(yùn)涵了許多優(yōu)美的規(guī)律.古今中外,許多數(shù)學(xué)家如賈憲、朱世杰、帕斯卡、華羅庚等都曾深入研究過(guò),并將研究結(jié)果應(yīng)用于其他工作.下圖是一個(gè)11階的楊輝三角:

11階楊輝三角

試回答:(其中第(1)~(5)小題只需直接給出最后的結(jié)果,無(wú)需求解過(guò)程)

(1)記第i(i∈N*)行中從左到右的第j(j∈N*)個(gè)數(shù)為a_ij,則數(shù)列{a_ij}的通項(xiàng)公式為          ,

n階楊輝三角中共有           個(gè)數(shù);

(2)第k行各數(shù)的和是;

(3)n階楊輝三角的所有數(shù)的和是;

(4)將第n行的所有數(shù)按從左到右的順序合并在一起得到的多位數(shù)等于;

(5)第p(p∈N*,且p≥2)行除去兩端的數(shù)字1以外的所有數(shù)都能被p整除,則整數(shù)p一定為(   )

A.奇數(shù)                B.質(zhì)數(shù)              C.非偶數(shù)                D.合數(shù)

(6)在第3斜列中,前5個(gè)數(shù)依次為1、3、6、10、15;第4斜列中,第5個(gè)數(shù)為35.顯然,1+3+6+10+15=35.事實(shí)上,一般地有這樣的結(jié)論:

第m斜列中(從右上到左下)前k個(gè)數(shù)之和,一定等于第m+1斜列中第k個(gè)數(shù).

試用含有m、k(m、k∈N*)的數(shù)學(xué)公式表示上述結(jié)論并證明其正確性.

數(shù)學(xué)公式為                   .

證明:                        .

解 (1)a_ij=    (2)2^k   (3)2ⁿ⁺¹-1   (4)11ⁿ    (5)B        5分

(6)

10分