江蘇省海安曲塘中學(xué)2009屆高三數(shù)學(xué)綜合訓(xùn)練(三)
一、填空題(每題5分,14小題,共70分,請將答案填在答案卷題號相應(yīng)處)
1. 設(shè)集合A={(x,y)|2x-3y=0)},B={(x,y)|x+3y=4},則A∩B子集的個數(shù)是 ▲
2. 命題 “x∈R,有x2+1≥x”的否定是 ▲ .
3. 函數(shù)f(x)=sin2x +sin(+2x)的最小正周期是 ▲ .
4. 若向量(a、(b滿足|(a|=1,|(b|=2,且(a與(b的夾角為,則|(a+2(b|= ▲ .
5.已知a,b都是實數(shù),那么“a2>b
6. 若復(fù)數(shù)z滿足z=i(2-z)(i是虛數(shù)單位),則z= ▲ .
7. 4張卡片上分別寫有數(shù)字1,2,3,4,從這4張卡片中隨機抽取2張,則取出的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的概率為 ▲
8.左圖程序運算后的結(jié)果是34,則程序中的“?”應(yīng)該填的自然數(shù)為 ▲ .
9.一幾何體一長為的棱在正視圖與左視圖中均為3,則俯視圖中長度為 ▲ .
10.函數(shù)f(x)是偶函數(shù),當(dāng)x∈[0,+∞)時,f(x)=lg(x+),則滿足f(x)>0的x的取值范圍是 ▲.
11.將圓沿x軸正方向平移1個單位后所得到圓C與過點A(2,3)和B(a,7)的直線相切,則a的值為 ▲ .
12.設(shè)等差數(shù)列{an}的前項和為Sn,若S1≥0,S7≤14, S5≥15,則S9的最大值為__▲_ .
13.等差數(shù)列{an}有如下性質(zhì):a1+
類比等比數(shù)列{bn}有類似性質(zhì)為 ▲.
14.若函數(shù)f(x)=x2+|x+a|-b圖象上存在點P(x1, f(x1))對任意a∈[-1,3]都不在x軸上方,則b的最小值為 ▲ .
二、解答題(共6題,滿分 90分)
15、15.(本小題滿分14分)
已知(a=(cosα,sinα) (b=(cosβ,sinβ).
(1)若α-β=,求(a?(b的值;
(2)若,求的值.
16、(本小題滿分14分)
多面體中,,,,。
(1)在BC上找一點N,使得AN∥面BED
(2)求證:面BED⊥面BCD
17.(本小題滿分15分)
已知直線:(為常數(shù))過橢圓()的上頂點和左焦點,直線被圓截得的弦長為.
(1)若,求的值;
(2)若,求橢圓離心率的取值范圍.
18.(本小題滿分15分)
如圖,有一塊四邊形綠化區(qū)域,其中,,,現(xiàn)準備經(jīng)過上一點和上一點鋪設(shè)水管,且將四邊形分成面積相等的兩部分,設(shè),.
(1)求的關(guān)系式;
(2)求水管的長的最小值.
19.(本小題滿分16分)
已知曲線:(為自然對數(shù)的底數(shù)),曲線:和直線:.
(1)求證:直線與曲線,都相切,且切于同一點;
(2)設(shè)直線與曲線 ,及直線分別相交于,記,求在上的最大值;
(3)設(shè)直線(為自然數(shù))與曲線和的交點分別為和,問是否存在正整數(shù),使得?若存在,求出;若不存在,請說明理由. (本小題參考數(shù)據(jù)≈2.7) .
20.(本小題滿分16分)
已知公差為正數(shù)的等差數(shù)列和公比為()的等比數(shù)列.
(1)若,且對一切恒成立,求證:;
(2)若>1,集合,求使不等式
成立的自然數(shù)恰有4個的正整數(shù)的值.
答題卷
班級 姓名 學(xué)號 成績
一、填空題(每題5分,共70分,請將答案填在答案卷題號相應(yīng)處)
1、 2、 3、 _ 4、 5、 6、 __ 7、
8、 9、 10、 11、 12、 13、 14、
二、解答題(共6題,滿分90分)
15、(本題滿分14分)
16、(本題滿分14分)
17、(本題滿分15分)
18、(本題滿分15分)
19.(本小題滿分16分)
已知曲線:(為自然對數(shù)的底數(shù)),曲線:和直線:.
(1)求證:直線與曲線,都相切,且切于同一點;
(2)設(shè)直線與曲線 ,及直線分別相交于,記,求在上的最大值;
(3)設(shè)直線(為自然數(shù))與曲線和的交點分別為和,問是否存在正整數(shù),使得?若存在,求出;若不存在,請說明理由. (本小題參考數(shù)據(jù)≈2.7) .
20.(本小題滿分16分)
已知公差為正數(shù)的等差數(shù)列和公比為()的等比數(shù)列.
(1)若,且對一切恒成立,求證:;
(2)若>1,集合,求使不等式
成立的自然數(shù)恰有4個的正整數(shù)的值.
理科試題附加題部分:
21.[選做題]在A,B,C,D四小題中只能選做2小題,每題10分,共20分;
A.選修4―1 幾何證明選講
如圖,圓的兩條弦、相交于點.
(1)若,求證:;
(2)若,,圓的半徑為3,求的長.
B.選修4―2 矩陣與變換
設(shè)數(shù)列滿足,且滿足,試求二階矩陣.
C.選修4―4 參數(shù)方程與極坐標
圓和圓的極坐標方程分別為.
(1)把圓和圓的極坐標方程化為直角坐標方程;
(2)求經(jīng)過圓,圓兩個交點的直線的直角坐標方程.
D.選修4―5 不等式證明選講
若,求證 :(1);(2).
[必做題]第22、23題,每小題10分,共計20分。
22.某小組有6個同學(xué),其中4個同學(xué)從來沒有參加過數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)活動,2個同學(xué)曾經(jīng)參加過數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)活動.
(1)現(xiàn)從該小組中任選2個同學(xué)參加數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)活動,求恰好選到1個曾經(jīng)參加過數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)活動的同學(xué)的概率;
(2)若從該小組中任選2個同學(xué)參加數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)活動,活動結(jié)束后,該小組沒有參加過數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)活動的同學(xué)個數(shù)是一個隨機變量,求隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.
23.如圖,在棱長為1的正方體中,、分別為和的中點.
(1)求異面直線和所成的角的余弦值;
(2)求平面與平面所成的銳二面角的余弦值;
(3)若點在正方形內(nèi)部或其邊界上,且平面,求的最大值、最小值.
一:填空題
1、2; 2、x∈R,使x2+1<x; 3、π; 4、; 5、既不充分也不必要條件;
6、1+i; 7、; 8、5; 9、; 10、(-∞, -)∪(,+∞);
11、2或5; 12、9; 13、b1?b22?b33?…?bnn=; 14、;
二:解答題
15.解:(1)∵(a=(cosα,sinα) (b=(cosβ,sinβ)
∴(a?(b=cos(α-β) =cos= …………………………………………5分
(2)∵∴………7分
α+β=2α-(α-β)= -(α-β) ……………………………………9分
∴或或7……………14分
16、證明:(1)令BC中點為N,BD中點為M,連結(jié)MN、EN
∵MN是△ABC的中位線
∴ MN∥CD …………………………2分
由條件知AE∥CD ∴MN∥AE 又MN=CD=AE
∴四邊形AEMN為平行四邊形
∴AN∥EM …………………………4分
∵AN面BED, EM面BED
∴AN∥面BED……………………6分
(2) ∵AE⊥面ABC, AN面ABC
∴AE⊥AN 又∵AE∥CD,AN∥EM∴EM⊥CD………………8分
∵N為BC中點,AB=AC∴AN⊥BC
∴EM⊥BC………………………………………………10分
∴EM⊥面BCD…………………………………………12分
∵EM面BED ∴ 面BED⊥面BCD ……14分
17.解:(1)取弦的中點為M,連結(jié)OM
由平面幾何知識,OM=1
…………………………………………3分
解得:, ………………………………………5分
∵直線過F、B ,∴則 …………………………………………7分
(2)設(shè)弦的中點為M,連結(jié)OM
則
……………………………………10分
解得 …………………………………………12分
∴……………………………15分
18.(1)延長BD、CE交于A,則AD=,AE=2
則S△ADE= S△BDE= S△BCE=, ∵S△APQ=,
∴ ∴…………………7分
(2)
=?………………12分
當(dāng),即……15分
19.解(1)證: 由 得
在C1上點處的切線為y-2e=2(x-e),即y=2x
又在C2上點處切線可計算得y-2e=2(x-e),即y=2x
∴直線l與C1、C2都相切,且切于同一點(e,2e) …………………5分
(2)據(jù)題意:M(t, +e),N(t,2elnt),P(t,2t)
∵+e-2t=≥0,∴+e ≥2t
設(shè)h(t)= 2t-2elnt,則由h/(t)=2-=0得t=e ;
當(dāng)t∈(0,e)時h/(t)<0,h(t)單調(diào)遞減;且當(dāng)t∈(e,+∞)時h/(t)>0,h(t)單調(diào)遞增;
∴t>0有h(t)≥h(e)=0 ∴2t≥2elnt
∴f(t)=+e-2t-(2t-2elnt)= +e -4t+2elnt………………4分
f(t)= +2e-4==≥0…………………7分
∴在上遞增∴當(dāng)時………10分
(3)
設(shè)上式為 ,假設(shè)取正實數(shù),則?
當(dāng)時,,遞減;
當(dāng),,遞增. ……………………………………12分
∵
∴不存在正整數(shù),使得即 …………………16分
20.解:(1),
,對一切恒成立
的最小值,又 ,………………4分
(2)這5個數(shù)中成等比且公比的三數(shù)只能為
只能是,
…………………………8分
,,
,顯然成立 ……………………………………12分
當(dāng)時,,
∴ ∴使成立的自然數(shù)n恰有4個正整數(shù)的p值為3……16分
三:理科附加題
21. A.解:(1)
∴ ∴AB=CD …………………………4分
(2)由相交弦定理得2×1=(3+OP)(3-OP)
∴,∴ ……………………………………10分
B.解:依題設(shè)有: ………………………………………4分
令,則 …………………………………………5分
…………………………………………7分
………………………………10分
C.解:以有點為原點,極軸為軸正半軸,建立平面直角坐標系,兩坐標系中取相同的長度單位.(1),,由得.
所以.
即為圓的直角坐標方程. ……………………………………3分
同理為圓的直角坐標方程. ……………………………………6分
(2)由
相減得過交點的直線的直角坐標方程為. …………………………10分
D.證明:(1)因為
所以 …………………………………………4分
(2)∵ …………………………………………6分
同理,,……………………………………8分
三式相加即得……………………………10分
22.解:(1)記“恰好選到1個曾參加過數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)活動的同學(xué)”為事件的,
則其概率為 …………………………………………4分
答:恰好選到1個曾經(jīng)參加過數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)活動的同學(xué)的概率為
(2)隨機變量
P(ξ=2)= =; P(ξ=3)= =;………7分
2
3
4
P
∴隨機變量的分布列為
………………10分
23.(1),,,
,,………………3分
(2)平面BDD1的一個法向量為,設(shè)平面BFC1的法向量為
∴
取得平面BFC1的一個法向量
∴所求的余弦值為 ……………………………………6分
(3)設(shè)()
,由得
即,
,當(dāng)時,當(dāng)時,∴ ……………10分
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