Question

4．如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，AD，AB，BC分別與⊙O相切于E，F(xiàn)，G三點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線交BC于點(diǎn)M，切點(diǎn)為N，則DM的長(zhǎng)為$\frac{13}{3}$．

Answer 1

分析 連接OE，OF，ON，OG，在矩形ABCD中，得到∠A=∠B=90°，CD=AB=4，由于AD，AB，BC分別與⊙O相切于E，F(xiàn)，G三點(diǎn)，得到∠AEO=∠AFO=∠OFB=∠BGO=90°，推出四邊形AFOE，F(xiàn)BGO是正方形，得到AF=BF=AE=BG=2，由勾股定理列方程即可求出結(jié)果．

解答 解：連接OE，OF，ON，OG，
在矩形ABCD中，
∵∠A=∠B=90°，CD=AB=4，
∵AD，AB，BC分別與⊙O相切于E，F(xiàn)，G三點(diǎn)，
∴∠AEO=∠AFO=∠OFB=∠BGO=90°，
∴四邊形AFOE，F(xiàn)BGO是正方形，
∴AF=BF=AE=BG=2，
∴DE=3，
∵DM是⊙O的切線，
∴DN=DE=3，MN=MG，
∴CM=5-2-MN=3-MN，
在R_t△DMC中，DM²=CD²+CM²，
∴（3+NM）²=（3-NM）²+4²，
∴NM=$\frac{4}{3}$，
∴DM=3+$\frac{4}{3}$=$\frac{13}{3}$．
故答案為$\frac{13}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)，勾股定理，正方形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．