Question

4．在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師提出了一個(gè)問題，希望同學(xué)們進(jìn)行探究．
在平面直角坐標(biāo)系中，若一次函數(shù)y=kx+6的圖象與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，與反比例函數(shù)y=$\frac{6}{x}$的圖象交于C、D兩點(diǎn)，則AD和BC有怎樣的數(shù)量關(guān)系？
同學(xué)們通過合作討論，逐漸完成了對(duì)問題的探究．
小勇說：我們可以從特殊入手，取D進(jìn)行研究（如圖①），此時(shí)我發(fā)現(xiàn)AD=BC．
小攀說：在圖①中，分別從點(diǎn)C、D兩點(diǎn)向兩條坐標(biāo)軸作垂線，根據(jù)所學(xué)知識(shí)可以知道有兩個(gè)圖形的面積是相等的，并能求出確定的值，而且在圖②中，此時(shí)S_矩形FCHO=S_矩形GDIO，這一結(jié)論仍然成立，即四邊形OHCF的面積=四邊形OIDG的面積，此面積的值為6．
小高說：我還發(fā)現(xiàn)，在圖①或圖②中連接某兩個(gè)已知點(diǎn)，得到的線段與AD和BC都相等，這條線段是GH．

（1）請(qǐng)完成以上填空；
（2）請(qǐng)結(jié)合以上三位同學(xué)的討論，對(duì)圖②所示的情況下，證明AD=BC；
小峰突然提出一個(gè)問題：通過剛才的證明，我們可以知道當(dāng)直線與雙曲線的兩個(gè)交點(diǎn)都在第一象限時(shí)，AD=BC總是成立的，但我發(fā)現(xiàn)當(dāng)k的取值不同時(shí)，這兩個(gè)交點(diǎn)有可能在不同象限，結(jié)論還成立嗎？
（3）請(qǐng)你結(jié)合小峰提出的問題，在圖③中畫出示意圖，并判斷結(jié)論是否成立．若成立，請(qǐng)寫出證明過程；若不成立，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題目的敘述即可直接解答；
（2）連接GH，GC，DH，證明S_△CGH=S_△GHD．則CD∥GH，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求解；
（3）與（2）解法相同，證明S_△CGH=S_△GHD．則點(diǎn)C，D到GH的距離相等，然后利用平行四邊形的性質(zhì)證得．

解答 解：（1）S_矩形FCHO=S_矩形GDIO，這一結(jié)論仍然成立，即的四邊形OHCF面積=四邊形OIDG的面積，此面積的值為6．
在圖①或圖②中連接某兩個(gè)已知點(diǎn)，得到的線段與AD和BC都相等，這條線段是GH．
故答案是：四邊形OHCF，四邊形OIDG，6，GH；

（2）成立，證明如下：
如圖①，連接GH，GC，DH，
∵點(diǎn)C，D是反比例圖象上的點(diǎn)，
∴S_矩形FCHO=S_矩形GDIO．
∴$\frac{1}{2}{S_{矩形FCHO}}=\frac{1}{2}{S_{矩形GDIO}}$．
∴S_△CGH=S_△GHD．
∴點(diǎn)C，D到GH的距離相等．
∴CD∥GH． 
∴四邊形BCHG和四邊形GHAD都是平行四邊形．
∴BC=GH，GH=DA．  
即AD=BC；

（3）畫出圖形，得到GH，
∵點(diǎn)C，D是反比例圖象上的點(diǎn)，
∴S_矩形FCHO=S_矩形GDIO．
∴$\frac{1}{2}{S_{矩形FCHO}}=\frac{1}{2}{S_{矩形GDIO}}$．
∴S_△CGH=S_△GHD．
∴點(diǎn)C，D到GH的距離相等．
∴CD∥GH．  
∴四邊形BCHG和四邊形GHAD都是平行四邊形．
∴BC=GH，GH=DA．
即AD=BC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)以及反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義，注意題目之間的聯(lián)系是解決本題的關(guān)鍵．