Question

11．如圖，菱形ABCD中，∠A=60°，連接BD，∠PBQ=60°，將∠PBQ繞點B任意旋轉，交邊AD，CD分別于點E、F（不與菱形的頂點重合），設菱形ABCD的邊長為a（a為常數(shù)）
（1）△ABD和△CBD都是等邊三角形；
（2）判斷△BEF的形狀，并說明理由；
（3）在運動過程中，四邊形BEDF的面積是否變化，若不變，求出其面積的值（用a表示）；若變化，請說明理由．
（4）若a=3，設△DEF的周長為m，直接寫出m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AD=AB=BC=CD，∠C=∠A=60°由等邊三角形的判定定理即可得到結論；
（2）由（1）知，△ABD和△CBD都是等邊三角形，于是得到∠EDB=∠DBC=∠C=60°，BD=BC證得∠EBD=∠CBF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BE=BF，即可的結論；
（3）由△ABD是等邊三角形，AB=a，得到AB邊上的高=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，根據(jù)三角形的面積公式得到S_△ABD=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²，等量代換即可得到結論；
（4）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DE=CF，于是得到DF+DE=DF+CF=3，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到BF=EF，得到△DEF的周長＜6，當BF⊥CD時，求得BF=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，得到△DEF的周長=3+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，即可得到結論．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD=AB=BC=CD，∠C=∠A=60°
∴△ABD和△CBD都是等邊三角形；
故答案為：等邊；

（2）△BEF是等邊三角形，
理由：由（1）知，△ABD和△CBD都是等邊三角形，
∴∠EDB=∠DBC=∠C=60°，BD=BC
∵∠EBF=60°，
∴∠EBD=∠CBF，
在△BDE與△BCF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BDE=∠C}\\{BD=BC}\\{∠DBE=∠CBF}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△BCF，
∴BE=BF，
∴△BEF是等邊三角形；

（3）不變，
理由：∵△ABD是等邊三角形，AB=a，
∴AB邊上的高=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∴S_△ABD=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²，
∵△BDE≌△BCF，
∴S_{四邊形BFDE}=S_△ABD=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²，
∴在運動過程中，四邊形BEDF的面積不變化；

（4）∵△BDE≌△BCF，
∴DE=CF，
∴DF+DE=DF+CF=3，
∵△BEF是等邊三角形，
∴BF=EF，
∵BF＜3，
∴△DEF的周長＜6，
當BF⊥CD時，BF=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴△DEF的周長=3+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴m的取值范圍是3+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$≤m＜6．

點評 本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，正確的識別圖形是解題的關鍵．