Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形的對(duì)角線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，與交于點(diǎn)軸于點(diǎn)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為反比例函數(shù)的圖象恰好經(jīng)過(guò)兩點(diǎn).

(1)求的值及所在直線的表達(dá)式;

(2)求證:.

(3)求的值.

Answer 1

【答案】（1）-2，；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)及反比例函數(shù)的對(duì)稱性可以推出，再根據(jù)點(diǎn)D的坐標(biāo)即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)，從而得出k的值；根據(jù)點(diǎn)P的坐標(biāo)可以得出直線的表達(dá)式，最后根據(jù)OP和AC的關(guān)系即可得出直線的表達(dá)式；

（2）由己等邊對(duì)等角即可推出；

（3）由已知可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理可求得OB的值，最后根據(jù)同角的余弦即可得出答案.

解：（1）∵在菱形中，對(duì)角線與互相垂直且平分，

，

經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且反比例函數(shù)的圖象恰好經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，

由反比例函數(shù)圖象的對(duì)稱性知：，

.

點(diǎn)的坐標(biāo)為，

點(diǎn)的坐標(biāo)為，

，則；

設(shè)直線的表達(dá)式為，將點(diǎn)代入得，

∴直線的表達(dá)式為，

設(shè)直線的表達(dá)式為，

于點(diǎn)，

將點(diǎn)及，代入，

得:，

直線的表達(dá)式為.

（2）證明：由條件得，，

，

；

（3），

又與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

在中，，從而.

則.