Question

3．已知：OP平分∠AOB，∠DCE的頂點C在射線OP上，射線CD交射線OA于F，射線CE交射線OB于G．
（1）如圖①，若CD⊥OA，CE⊥OB，請直接寫出線段CF與CG的數(shù)量關系：CF=CG；
（2）如圖②，若∠AOB=120°，∠DCE=∠AOC，試判斷線段CF與線段CG的數(shù)量關系并加以證明；
（3）若∠AOB=α，當∠DCE滿足什么條件時，你在（2）中得到的結論仍然成立，請直接寫出∠DCE滿足的條件．

Answer 1

分析 （1）結論CF=CG，由角平分線性質(zhì)定理即可判斷．
（2）結論：CF=CG，如圖②中，作CM⊥OA于M，CN⊥OB于N，只要證明△CMF≌△CNG即可解決問題．
（3）當∠DCE=180°-α時，在（2）中得到的結論仍然成立，如圖②中，作CM⊥OA于M，CN⊥OB于N，證明方法類似（2）．

解答 解：（1）結論CF=CG．
理由：如圖①中，

∵OP平分∠AOB，CF⊥OA，CG⊥OB，
∴CF=CG．

（2）結論：CF=CG．
理由：如圖②中，作CM⊥OA于M，CN⊥OB于N．

∵OP平分∠AOB，CM⊥OA，ON⊥OB，
∴CM=CN，
∵∠AOB=120°，
∴∠MCN=360°-∠CMO-∠CNO-∠AOB=60°，
∵∠DCE=∠AOC=60°，
∴∠MCN=∠DCE，
∴∠MCF=∠GCN，
在△CMF和△CNG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MCF=∠NCG}\\{CM=CN}\\{∠CMF=∠CNG}\end{array}\right.$，
∴△CMF≌△CNG，
∴CF=CG．

（3）當∠DCE=180°-α時，在（2）中得到的結論仍然成立．
理由：如圖②中，作CM⊥OA于M，CN⊥OB于N．
∵OP平分∠AOB，CM⊥OA，ON⊥OB，
∴CM=CN，
∵∠DCE+∠AOB=180°，∠MCN+∠AOB=180°，
∴∴∠MCN=∠DCE，
∴∠MCF=∠GCN，
在△CMF和△CNG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MCF=∠NCG}\\{CM=CN}\\{∠CMF=∠CNG}\end{array}\right.$，
∴△CMF≌△CNG，
∴CF=CG．

點評 本題考查三角形綜合題、角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關鍵是掌握角平分線的性質(zhì)的應用，熟練證明三角形全等，學會添加常用輔助線，構造全等三角形，屬于中考�？碱}型．