Question

3．如圖，反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象與一次函數(shù)y=$\frac{1}{4}$x的圖象交于點(diǎn)A、B．點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是4．點(diǎn)P是第一象限內(nèi)反比例函數(shù)圖象上的動(dòng)點(diǎn)，且在直線AB的上方．
（1）若點(diǎn)P的坐標(biāo)是（1，4），直接寫出k的值和△PAB的面積；
（2）在（1）的條件下，設(shè)直線PA，PB與x軸分別交于點(diǎn)M、N，求證：△PMN是等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法先求出A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出k的值，再證明△PAB是直角三角形，即可解決問題．
（2）求出直線PA的解析式為y=x+3，推出M（-3，0），C（0，3），推出OM=OC，推出∠PMN=45°，由∠MPN=90°，推出∠PNM=∠PMN=45°，推出PM=PN．

解答 解：（1）由題意點(diǎn)B坐標(biāo)（4，1），
把點(diǎn)B（1，4）代入y=$\frac{k}{x}$，得到k=4，
∵A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴A（-4，-1），
∴AB=$\sqrt{{8}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{68}$，PB=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{18}$，PA=$\sqrt{{5}^{2}+{5}^{2}}$=$\sqrt{50}$，
∴AB²=PB²+PA²，
∴△PAB是直角三角形，
∴S_△PAB=$\frac{1}{2}$•PA•PB=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{50}$×$\sqrt{18}$=15．

（2）∵P（1，4），A（-4，-1），
設(shè)直線PA的解析式為y=kx+b，則有$\left\{\begin{array}{l}{k+b=4}\\{-4k+b=-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直線PA的解析式為y=x+3，
∴M（-3，0），C（0，3），
∴OM=OC，
∴∠PMN=45°，∵∠MPN=90°，
∴∠PNM=∠PMN=45°，
∴PM=PN，
∴△PMN是等腰三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查反比例函數(shù)的解析式、一次函數(shù)的應(yīng)用、待定系數(shù)法、勾股定理分逆定理、三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)構(gòu)建一次函數(shù)，確定點(diǎn)的坐標(biāo)，屬于中考�？碱}型．