Question

6．在一堂關(guān)于“折紙問題”的數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐探究課中，小明同學(xué)將一張矩形ABCD紙片，按如圖進(jìn)行折疊，分別在BC、AD兩邊上取兩點(diǎn)E，F(xiàn)，使CE=AF，分別以DE，BF為對(duì)稱軸將△CDE與△ABF翻折得到△C′DE與△A′BF，且邊C′E與A′B交于點(diǎn)G，邊A′F與C′D交于一點(diǎn)H．已知tan∠EBG=$\frac{3}{4}$，A′G=6，C′G=1，則矩形紙片ABCD的周長為62．

Answer 1

分析 延長BA′交DE于M，作MN⊥C′D于N，由矩形的性質(zhì)得出∠A=∠C=90°，AD=BC，AB=CD，由折疊的性質(zhì)得出∠C′=∠C=90°，∠A′=∠A=90°，CE=C′E，AB=A′B，∠CDE=∠C′DE，∠CED=∠C′ED，∠ABF=∠A′BF，∠AFB=∠A′FB，由SAS證明△ABF≌△CDE（SAS），得出∠ABF=∠CDE，∠CED=∠AFB，由ASA證明△BEG≌△DFH，得出∠BGE=∠DHF，證出四邊形MNC′G是矩形，得出MN=C′G=1，∠GMN=90°，設(shè)EG=3x，BG=4x，則BE=5x，CE=C′E=3x+1，CD=AB=A′B=4x+6，由三角函數(shù)求出DN=$\frac{3}{4}$，由勾股定理得出DM=$\frac{5}{4}$，再由三角函數(shù)得出方程，解方程求出x=2，得出AB=CD=14，AD=BC=17，即可得出矩形ABCD的周長．

解答 解：延長BA′交DE于M，作MN⊥C′D于N，如圖所示：
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠C=90°，AD=BC，AB=CD，
由折疊的性質(zhì)得：∠C′=∠C=90°，∠A′=∠A=90°，CE=C′E，AB=A′B，∠CDE=∠C′DE，∠CED=∠C′ED，∠ABF=∠A′BF，∠AFB=∠A′FB，
在△ABF和△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{∠A=∠C}\\{AF=CE}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△CDE（SAS），
∴∠ABF=∠CDE，∠CED=∠AFB，
∴∠BEG=∠DFH，∠EBG=∠FDH，
∵CE=AF，
∴BE=DF，
在△BEG和△DFH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BEG=∠DFH}\\{BE=DF}\\{∠EBG=∠FDH}\end{array}\right.$，
∴△BEG≌△DFH（ASA），
∴∠BGE=∠DHF，
∵∠A′GC′=∠BGE，∠A′HC′=∠DHF，
∴∠BGE=∠DHF=∠A′HC′=∠A′GC′=（360°-90°-90°）÷2=90°，
∴四邊形MNC′G是矩形，
∴MN=C′G=1，∠GMN=90°，
∴∠DNM=∠EBG，
∵tan∠EBG=$\frac{3}{4}$，
∴設(shè)EG=3x，BG=4x，則BE=5x，
∴CE=C′E=3x+1，CD=AB=A′B=4x+6，
∵tan∠DMN=$\frac{DN}{MN}$=tan∠EBG=$\frac{3}{4}$，MN=1，
∴DN=$\frac{3}{4}$，
∴DM=$\frac{5}{4}$，
∵tan∠EBG=$\frac{CM}{BC}$=$\frac{3}{4}$，
即$\frac{4x+6-\frac{5}{4}}{3x+1+5x}$，解得：x=2，
∴AB=CD=14，AD=BC=17，
∴矩形ABCD的周長=2×（14+17）=62．
故答案為：62．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角函數(shù)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，難度較大，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．