Question

如圖，正方形ABCD的邊長是4，點P是邊CD上一點，連接PA，將線段PA繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PE，在邊AD延長線上取點F，使DF=DP，連接EF，CF路。

（1）求證：四邊形PCFE是平行四邊形；

（2）當點P在邊CD上運動時，四邊形PCFE的面積是否有最大值？若有，請求出面積的最大值及此時CP長；若沒有，請說明理由。

Answer 1

解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=CD，∠ADP=∠CDF=90°。

∵在△ADP和△CDF中，AD=CD，∠ADP=∠CDF，DP=DF，

∴△ADP≌△CDF（SAS）�！郟A=FC，∠PAD=∠FCD。  

∵PA=PE，∴PE=FC。        

∵∠PAD+∠APD=90°，∠EPA=90°，∴∠PAD =∠DPE。                                

∴∠FCD =∠DPE。

∴EP∥FC。

∴四邊形EPCF是平行四邊形。

∴EP∥FC，∴四邊形EPCF是平行四邊形。

（2）有。

設(shè)CP=x，則DP=4﹣x ，平行四邊形PEFC的面積為S，

 。

∵a=﹣1＜0，∴拋物線的開口向下，

∴當x=2 時，S最大=4。

∴當CP=2 時，四邊形PCFE的面積最大，最大值為4。

【考點】四邊形綜合題，旋轉(zhuǎn)問題，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，由實際問題列函數(shù)關(guān)系式，二次函數(shù)的最值。