Question

【題目】某手機(jī)專賣店銷售A，B兩種型號(hào)的手機(jī)，如表是近兩周的銷售情況：

銷售時(shí)段	銷售數(shù)量		銷售利潤(rùn)
	A型	B型
第一周	3臺(tái)	5臺(tái)	1800元
第二周	4臺(tái)	10臺(tái)	3000元

（1）求每臺(tái)A型手機(jī)和B型手機(jī)的銷售利潤(rùn)；

（2）該手機(jī)專賣店計(jì)劃一次購(gòu)進(jìn)兩種型號(hào)的手機(jī)共100臺(tái)，其中A型號(hào)手機(jī)的進(jìn)貨量不超過B型號(hào)手機(jī)進(jìn)貨量的2倍．設(shè)購(gòu)進(jìn)A型號(hào)手機(jī)x臺(tái)，這100臺(tái)手機(jī)的銷售總利潤(rùn)為y元．

①求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；

②該商店購(gòu)進(jìn)A型號(hào)和B型號(hào)手機(jī)各多少臺(tái)，才能使銷售總利潤(rùn)最大？

（3）實(shí)際進(jìn)貨時(shí)，廠家對(duì)A型號(hào)手機(jī)的出廠價(jià)提高a（0＜a＜100）元，對(duì)B型號(hào)手機(jī)的出廠價(jià)下降a（0＜a＜100）元，且限定該手機(jī)專賣店至少購(gòu)進(jìn)A型號(hào)手機(jī)20臺(tái)．若該手機(jī)專賣店保持兩種手機(jī)的售價(jià)不變，請(qǐng)根據(jù)以上信息及（2）中條件，設(shè)計(jì)出使這100臺(tái)手機(jī)銷售總利潤(rùn)最大的進(jìn)貨方案．

Answer 1

【答案】(1)150元；(2)①y=120x+18000；②商店購(gòu)進(jìn)66臺(tái)A型手機(jī)和34臺(tái)B型手機(jī)的銷售利潤(rùn)最大；(3) 商店購(gòu)進(jìn)20臺(tái)A型手機(jī)和80臺(tái)B型手機(jī)的銷售利潤(rùn)最大．

【解析】

試題分析：（1）設(shè)每臺(tái)A型手機(jī)利潤(rùn)為a元，每臺(tái)B型手機(jī)的銷售利潤(rùn)為b元；根據(jù)題意列出方程組求解，

（2）①據(jù)題意得，y=300x+180（100﹣x）；

②利用不等式求出x的范圍，又因?yàn)閥=120x+18000是增函數(shù)，即可得出答案；

（3）據(jù)題意得，y=（300﹣a）x+（180+a）（100﹣x），即y=（120﹣2a）x+18000+100a，分三種情況討論，①當(dāng)0＜a＜60時(shí)，120﹣2a＞0，y隨x的增大而增大，②a=60時(shí)，120﹣2a=0，y=24000，③當(dāng)60＜a＜100時(shí)，120﹣2a＜0，y隨x的增大而減小，分別進(jìn)行求解．

試題解析：（1）設(shè)每臺(tái)A型手機(jī)銷售利潤(rùn)為a元，每臺(tái)B型手機(jī)的銷售利潤(rùn)為b元；根據(jù)題意得：

，解得：，

答：每臺(tái)A型手機(jī)銷售利潤(rùn)為100元，每臺(tái)B型手機(jī)的銷售利潤(rùn)為150元．

（2）①據(jù)題意得，y=300x+180（100﹣x）=120x+18000；

②據(jù)題意得，x≤2（100﹣x），解得x≤66，

∵y=120x+18000，120＞0，

∴y隨x的增大而增大，

∵x為正整數(shù)，

∴當(dāng)x=66時(shí)，y取最大值，則100﹣66=34，

即商店購(gòu)進(jìn)66臺(tái)A型手機(jī)和34臺(tái)B型手機(jī)的銷售利潤(rùn)最大．

（3）據(jù)題意得，y=（300﹣a）x+（180+a）（100﹣x），即y=（120﹣2a）x+18000+100a，20≤x≤66，

①當(dāng)0＜a＜60時(shí)，120﹣2a＞0，y隨x的增大而增大，

∴當(dāng)x=66時(shí)，y取最大值，

②a=60時(shí)，120﹣2a=0，y=18000+100a=24000，

即商店購(gòu)進(jìn)A型手機(jī)數(shù)量滿足x≤66的整數(shù)時(shí)，均獲得最大利潤(rùn)；

③當(dāng)60＜a＜100時(shí)，120﹣2a＜0，y隨x的增大而減小，

∴當(dāng)x=20時(shí)，y取得最大值．

即商店購(gòu)進(jìn)20臺(tái)A型手機(jī)和80臺(tái)B型手機(jī)的銷售利潤(rùn)最大．