Question

3．閱讀材料：如圖，C為線段BD上一動(dòng)點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，連接AC、EC．設(shè)CD=x，若AB=4，DE=2，BD=8，則可用含x的代數(shù)式表示AC+CE的長(zhǎng)為$\sqrt{16+（8-x）^{2}}$+$\sqrt{4+{x}^{2}}$．然后利用幾何知識(shí)可知：當(dāng)A、C、E在一條直線上時(shí)，x=$\frac{8}{3}$時(shí)，AC+CE的最小值為10．根據(jù)以上閱讀材料，可構(gòu)圖求出代數(shù)式$\sqrt{25+（12-x）^{2}}$+$\sqrt{9+{x}^{2}}$的最小值為4$\sqrt{13}$．

Answer 1

分析 根據(jù)已知圖象，重新構(gòu)造直角三角形，利用三角形相似得出CD的長(zhǎng)，進(jìn)而利用勾股定理得出最短路徑問(wèn)題．

解答 解：如圖所示：C為線段BD上一動(dòng)點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，連接AC、EC．設(shè)CD=x，
若AB=5，DE=3，BD=12，
當(dāng)A，C，E，在一條直線上，AE最短，
∵AB⊥BD，ED⊥BD，
∴AB∥DE，
∴△ABC∽EDC，
∴$\frac{AB}{DE}$=$\frac{BC}{CD}$，
∴$\frac{5}{3}$=$\frac{12-CD}{CD}$，
解得：DC=$\frac{9}{2}$．
即當(dāng)x=$\frac{9}{2}$時(shí)，代數(shù)式$\sqrt{25+（12-x）^{2}}$+$\sqrt{9+{x}^{2}}$有最小值，
此時(shí)為：$\sqrt{25+（12-\frac{9}{2}）^{2}}$+$\sqrt{9+（\frac{9}{2}）^{2}}$=4$\sqrt{13}$．
故答案為：4$\sqrt{13}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查最短路線問(wèn)題，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，可通過(guò)構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解．