Question

【題目】如圖，正方形OABC的頂點(diǎn)O與原點(diǎn)重合，點(diǎn)A，C分別在x軸與y軸的正半軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)D在邊AB上，且tan∠AOD＝，點(diǎn)E是射線OB上一動(dòng)點(diǎn)，EF⊥x軸于點(diǎn)F，交射線OD于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)G作GH∥x軸交AE于點(diǎn)H．

（1）求B，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求∠HDA的大��；

（3）以點(diǎn)G為圓心，GH的長(zhǎng)為半徑畫(huà)⊙G．是否存在點(diǎn)E使⊙G與正方形OABC的對(duì)角線所在的直線相切？若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）B（4，4），D（4，2）；（2）45°；（3）存在，符合條件的點(diǎn)為（8﹣4，8﹣4）或（8+4，8+4）或或，理由見(jiàn)解析

【解析】

（1）由正方形性質(zhì)知AB=OA=4，∠OAB=90°，據(jù)此得B（4，4），再由tan∠AOD= 得AD=OA=2，據(jù)此可得點(diǎn)D坐標(biāo)；

（2）由知GF=OF，再由∠AOB=∠ABO=45°知OF=EF，即GF=EF，根據(jù)GH∥x軸知H為AE的中點(diǎn)，結(jié)合D為AB的中點(diǎn)知DH是△ABE的中位線，即HD∥BE，據(jù)此可得答案；
（3）分⊙G與對(duì)角線OB和對(duì)角線AC相切兩種情況，設(shè)PG=x，結(jié)合題意建立關(guān)于x的方程求解可得．

解：（1）∵A（4，0），

∴OA＝4，

∵四邊形OABC為正方形，

∴AB＝OA＝4，∠OAB＝90°，

∴B（4，4），

在Rt△OAD中，∠OAD＝90°，

∵tan∠AOD＝，

∴AD＝OA＝×4＝2，

∴D（4，2）；

（2）如圖1，在Rt△OFG中，∠OFG＝90°

∴tan∠GOF＝＝，即GF＝OF，

∵四邊形OABC為正方形，

∴∠AOB＝∠ABO＝45°，

∴OF＝EF，

∴GF＝EF，

∴G為EF的中點(diǎn)，

∵GH∥x軸交AE于H，

∴H為AE的中點(diǎn)，

∵B（4，4），D（4，2），

∴D為AB的中點(diǎn)，

∴DH是△ABE的中位線，

∴HD∥BE，

∴∠HDA＝∠ABO＝45°．

（3）①若⊙G與對(duì)角線OB相切，

如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在線段OB上時(shí)，

過(guò)點(diǎn)G作GP⊥OB于點(diǎn)P，設(shè)PG＝x，可得PE＝x，EG＝FG＝x，

OF＝EF＝2x，

∵OA＝4，

∴AF＝4﹣2x，

∵G為EF的中點(diǎn)，H為AE的中點(diǎn)，

∴GH為△AFE的中位線，

∴GH＝AF＝×（4﹣2x）＝2﹣x，

則x＝2﹣x，

解得：x＝2﹣2，

∴E（8﹣4，8﹣4），

如圖3，當(dāng)點(diǎn)E在線段OB的延長(zhǎng)線上時(shí)，

x＝x﹣2，

解得：x＝2+，

∴E（8+4，8+4）；

②若⊙G與對(duì)角線AC相切，

如圖4，當(dāng)點(diǎn)E在線段BM上時(shí)，對(duì)角線AC，OB相交于點(diǎn)M，

過(guò)點(diǎn)G作GP⊥OB于點(diǎn)P，設(shè)PG＝x，可得PE＝x，

EG＝FG＝x，

OF＝EF＝2x，

∵OA＝4，

∴AF＝4﹣2x，

∵G為EF的中點(diǎn)，H為AE的中點(diǎn)，

∴GH為△AFE的中位線，

∴GH＝AF＝×（4﹣2x）＝2﹣x，

過(guò)點(diǎn)G作GQ⊥AC于點(diǎn)Q，則GQ＝PM＝3x﹣2，

∴3x﹣2＝2﹣x，

∴，

∴；

如圖5，當(dāng)點(diǎn)E在線段OM上時(shí)，

GQ＝PM＝2﹣3x，則2﹣3x＝2﹣x，

解得，

∴；

如圖6，當(dāng)點(diǎn)E在線段OB的延長(zhǎng)線上時(shí)，

3x﹣2＝x﹣2，

解得：（舍去）；

綜上所述，符合條件的點(diǎn)為（8﹣4，8﹣4）或（8+4，8+4）或或．