Question

11．如圖，AB是⊙O的直徑，AB=2，分別以A，B為圓心，1為半徑畫(huà)弧與⊙O交于C，E，D，F(xiàn)，則陰影部分的面積是$\sqrt{3}$-$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 連接各半徑，得△ACO是等邊三角形，則扇形ACE和扇形BDF的圓心角分別為120°，半徑為1；根據(jù)三角函數(shù)求三角形的高CG的長(zhǎng)，從而可以求△ACO的面積，得出小弓形AC的面積；所以陰影部分的面積=大圓的面積-兩個(gè)120°的扇形的面積-4個(gè)小弓形的面積．

解答 解：連接AC、AE、OC、BD、BF，過(guò)C作CG⊥OA于G，
∵OC=OA=AC=1，
∴△ACO是等邊三角形，
∴∠COA=∠CAO=60°，
同理∠EAO=60°，
∴∠CAE=∠DBF=120°，
在Rt△AGC中，sin∠CAO=$\frac{CG}{AC}$，
sin60°=$\frac{CG}{1}$，CG=1×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴S_弓形=S_扇形OCA-S_△ACO=$\frac{60π×{1}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×1×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{π}{6}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴S_陰影=π×1²-$\frac{240π×{1}^{2}}{360}$-4（$\frac{π}{6}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$）=π-$\frac{2π}{3}$-$\frac{2π}{3}$+$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$-$\frac{π}{3}$，
故答案為：$\sqrt{3}$-$\frac{π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是圓中求陰影部分的面積，熟練掌握扇形面積的計(jì)算公式：設(shè)圓心角是n°，圓的半徑為R的扇形面積為S，則 S_扇形=$\frac{nπ{R}^{2}}{360}$或S_扇形=$\frac{1}{2}$lR（其中l(wèi)為扇形的弧長(zhǎng)）；求陰影面積常用的方法：①直接用公式法； ②和差法； ③割補(bǔ)法；本題運(yùn)用了和差法求面積．