Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過原點(diǎn)O，交x軸于點(diǎn)A，其頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，﹣ ）．

（1）求拋物線的函數(shù)解析式及點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）在拋物線上求點(diǎn)P，使S△POA=2S△AOB；
（3）在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使△AQO與△AOB相似？如果存在，請求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由函數(shù)圖象經(jīng)過原點(diǎn)得，函數(shù)解析式為y=ax2+bx（a≠0），

又∵函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，﹣ ），

∴ ，

解得： ，

故函數(shù)解析式為：y= x2﹣ x，

由二次函數(shù)圖象的對稱性可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6，0）

（2）

解：∵S△POA=2S△AOB，

∴點(diǎn)P到OA的距離是點(diǎn)B到OA距離的2倍，即點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為2 ，

代入函數(shù)解析式得：2 = x2﹣ x，

解得：x1=3+3 ，x2=3﹣3 ，

即滿足條件的點(diǎn)P有兩個，其坐標(biāo)為：P1（3+3 ，2 ），P2（3﹣3 ，2 ）

（3）

解：存在．

① 當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合時，滿足△AQO與△AOB相似，

此時點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3，﹣ ）；

②當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)B不重合時，

過點(diǎn)B作BP⊥OA，則tan∠BOP= = ，

故可得∠BOA=30°，

設(shè)Q1坐標(biāo)為（x， x2﹣ x），過點(diǎn)Q1作Q1F⊥x軸，

∵△OAB∽△OQ1A，

∴∠Q1OA=30°，

故可得OF= Q1F，即x= （ x2﹣ x），

解得：x=9或x=0（舍去），

經(jīng)檢驗(yàn)得此時OA=AQ1，△OQ1A是等腰三角形，且和△OBA相似．

即可得Q1坐標(biāo)為（9，3 ），

根據(jù)函數(shù)的對稱性可得Q2坐標(biāo)為（﹣3，3 ）．

∴在拋物線上存在點(diǎn)Q，使△AQO與△AOB相似，其坐標(biāo)為：（3，﹣ ）或（9，3 ）或（﹣3，3 ）

【解析】（1）根據(jù)函數(shù)經(jīng)過原點(diǎn)，可得c=0，然后根據(jù)函數(shù)的對稱軸，及函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)（3，﹣ ）可得出函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性可直接得出點(diǎn)A的坐標(biāo)．（2）根據(jù)題意可得點(diǎn)P到OA的距離是點(diǎn)B到OA距離的2倍，即點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為2 ，代入函數(shù)解析式可得出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；（3）分情況討論，①點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合可直接得出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；②點(diǎn)Q不與點(diǎn)B重合，先求出∠BOA的度數(shù)，然后可確定∠Q1OA=的度數(shù)，繼而利用解直角三角形的知識求出x，得出Q1的坐標(biāo)，利用二次函數(shù)圖象函數(shù)的對稱性可得出Q2的坐標(biāo)．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解二次函數(shù)的圖象(二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn))，還要掌握二次函數(shù)的性質(zhì)(增減性：當(dāng)a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減��；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵．