Question

9．如圖所示，拋物線過A、B、C三點(diǎn)，B是C的對稱點(diǎn)，頂點(diǎn)為D，與x軸的另一交點(diǎn)為E．
（1）求拋物線的關(guān)系式；
（2）求四邊形ABDE的面積；
（3）△AOB與△BDE是否相似？是與否請證明．

Answer 1

分析 （1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，拋物線的對稱性可得到B（0，3），然后將點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)代入解析式，得到關(guān)于a、b、c的方程組，從而可求得a、b、c的值；
（2）過點(diǎn)D作DF⊥OE，垂足為F．先求得點(diǎn)D和點(diǎn)E的坐標(biāo)，然后依據(jù)四邊形ABDE的面積=S△AOB+S△DFE的面積+S梯形BOFD的面積求解即可；（3）如圖2所示：過點(diǎn)D作DF⊥OB，垂足為F．先證明△DFB和△BOE均為等腰直角三角形，從而可得到∠BDE=90°，BD：BE=1：3，從而得到AO：OB=BD：BE，然后依據(jù)對應(yīng)邊成比例且夾角相等的兩三角形相似證明△AOB∽△DBE即可．

解答 解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c．
∵由函數(shù)圖象可知點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于對稱軸對稱，
∴點(diǎn)B與點(diǎn)C的縱坐標(biāo)相同，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，3）．
∵將點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)代入函數(shù)的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{c=3}\\{4a+2b+c=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=-x²+2x+3
（2）如圖1所示：過點(diǎn)D作DF⊥OE，垂足為F．

∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴D（1，4）．
∵令-x²+2x+3=0，解得x=-1或x=3，
∴E（3，0）．
∴四邊形ABDE的面積=$\frac{1}{2}$OA•OB+$\frac{1}{2}$（OB+DF）•OF+$\frac{1}{2}$DF•EF=$\frac{1}{2}$×1×3+$\frac{1}{2}$×（3+4）×1$+\frac{1}{2}$×2×4=9．
（3）如圖2所示：過點(diǎn)D作DF⊥OB，垂足為F．

∵D（1，4），B（0，3），
∴BF=FD．
∴∠FBD=45°．
∵B（0，3），E（3，0），
∴OB=EO．
∴∠OBE=45°．
∴∠DBE=90°．
∵$\frac{BF}{FD}=\frac{OB}{OE}$且∠DFB=∠BOE=90°，
∴△DFB∽△BOE．
∴$\frac{DB}{BE}=\frac{BF}{OE}$=$\frac{1}{3}$．
∴$\frac{AO}{OB}=\frac{DB}{BE}=\frac{1}{3}$．
∵∠AOB=∠DBE=90°，
∴△AOB∽△DBE．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、割補(bǔ)法求不規(guī)則圖形的面積、等腰直角三角形的性質(zhì)和判定、相似三角形的性質(zhì)和判定，證得△EDB為直角三角形且AO：OB=BD：BE是解題的關(guān)鍵．