【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點為坐標(biāo)原點,拋物線軸交于點,點,與軸交于點,連接,點在第二象限的拋物線上,連接,線段交線段于點

1)求拋物線的表達式;

2)若的面積為,的面積為當(dāng)時,求點的坐標(biāo);

3)已知點關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為點,連接,點軸上,當(dāng)時,

①求滿足條件的所有點的坐標(biāo);

②當(dāng)點在線段上時,點是線段外一點,,連接,將線段繞著點順時針旋轉(zhuǎn),得到線段,連接,直接寫出線段的取值范圍.

【答案】1;(2;(3)①;②

【解析】

1)將點A、B坐標(biāo)代入解析式解答即可;

2)先求出點C的坐標(biāo)為(0,3),過點CCGOPG,根據(jù), 得到,過點PPFx軸于F,過點EENPFN,得到,設(shè)點P的坐標(biāo)為(a,),求出直線BC的解析式為y=x+3,得到E,+3),根據(jù)2PF=5PN得到5(--3)=2(),求出x值即可得到點P的坐標(biāo);

3)①先求出拋物線的對稱軸是直線x=-1,得到N-2,3),求出直線BN的解析式為y=3x+9,分兩種情況:當(dāng)點HOB之間時,由,得到BNCH,得到直線CH的解析式為y=3x+3,即可求出點H的坐標(biāo)為(-1,0);當(dāng)點H在點B左側(cè)時,CHBNM,作直線OM,由得到BM=MC,故OMBC的垂直平分線,求出交點M的坐標(biāo)為(-),再求出直線CM的解析式為y=x+3,即可得到點H的坐標(biāo)為(-9,0);②如圖1,當(dāng)點Qx軸下方且MHx軸時,MH最小,作QGx軸,過點MMFQGF,則四邊形MHGF是矩形,證明△BQG≌△QMF,得到FM=GQ,BG=FQ,利用勾股定理求出GQ=GH=,得到MH=FG=BG-FG=;如圖2,當(dāng)點Qx軸上方,且MHx軸時,MH最大,過點QQGx軸,QFMHF,則四邊形HGQF是矩形,同理:△BGQ≌△MFQ,得到QG=FQ=HG,BG=MF,利用勾股定理求出GQ=GH=,得到MH=BG+FH= ,即可得到MH的取值范圍.

1)將點A、B的坐標(biāo)代入中,得

,解得,

∴拋物線的表達式為;

2)當(dāng)x=0時,y=3,∴點C的坐標(biāo)為(0,3),

過點CCGOPG,

,,

,

過點PPFx軸于F,過點EENPFN

ENOF,

,

設(shè)點P的坐標(biāo)為(a),

OF=-a,EN=-

∴點E的橫坐標(biāo)為,

B3,0),C0,3),

∴直線BC的解析式為y=x+3

當(dāng)x=時,y=+3,

E,+3),

2PF=5PN,

5(--3)=2(),

解得,

∴點P的坐標(biāo)為(-1,4)或(-2,3);

3)①∵

∴拋物線的對稱軸是直線x=-1,

∵點關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為點,C0,3),

N-2,3),

設(shè)直線BN的解析式為y=kx+b,

,解得,

∴直線BN的解析式為y=3x+9

當(dāng)點HOB之間時,如圖,

,

BNCH,

設(shè)直線CH的解析式為y=3x+m,將點C的坐標(biāo)代入,得m=3,

∴直線CH的解析式為y=3x+3,

當(dāng)y=0時,得x=-1

∴點H的坐標(biāo)為(-1,0);

當(dāng)點H在點B左側(cè)時,如圖,CHBNM,作直線OM,

,

BM=MC,

OB=OC,

OMBC的垂直平分線,

∴直線OM的解析式為y=-x,

解方程組,得,

∴點M的坐標(biāo)為(-,),

設(shè)直線CM的解析式為y=cx+n,

,∴

∴直線CM的解析式為y=x+3,

當(dāng)y=0x=-9,∴點H的坐標(biāo)為(-9,0),

綜上,當(dāng)時,點H的坐標(biāo)為(-1,0)或(-9,0);

②如圖1,當(dāng)點Qx軸下方且MHx軸時,MH最小,作QGx軸,過點MMFQGF,則四邊形MHGF是矩形,

FM=GH,FG=MH,

∵∠BQM=F=90°

∴∠BQG+FQM=FMQ+FQM=90°,

∴∠BQG=FMQ,

∵∠BGQ=F,BQ=MQ,

∴△BQG≌△QMF

FM=GQ,BG=FQ,

GQ=FM=GH

QH=1,

GQ=GH=,

MH=FG=BG-FG=;

如圖2,當(dāng)點Qx軸上方,且MHx軸時,MH最大,過點QQGx軸,QFMHF,則四邊形HGQF是矩形,

FQ=HG,FH=QG,

同理:△BGQ≌△MFQ,

QG=FQ=HGBG=MF,

QH=1

GQ=GH=,

MH=BG+FH=

∴MH的取值范圍是.

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