【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,點(diǎn)C,D是半圓O的三等分點(diǎn),過點(diǎn)C作⊙O的切線交AD的延長線于點(diǎn)E,過點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F,交⊙O于點(diǎn)H,連接DC,AC.
(1)求證:∠AEC=90°;
(2)試判斷以點(diǎn)A,O,C,D為頂點(diǎn)的四邊形的形狀,并說明理由;
(3)若DC=2,求DH的長.

【答案】
(1)證明:連接OC,

∵EC與⊙O切點(diǎn)C,

∴OC⊥EC,

∴∠OCE=90°,

∵點(diǎn)CD是半圓O的三等分點(diǎn),

= =

∴∠DAC=∠CAB,

∵OA=OC,

∴∠CAB=∠OCA,

∴∠DAC=∠OCA,

∴AE∥OC(內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行)

∴∠AEC+∠OCE=180°,

∴∠AEC=90°


(2)解:四邊形AOCD為菱形.

理由是:

= ,

∴∠DCA=∠CAB,

∴CD∥OA,

又∵AE∥OC,

∴四邊形AOCD是平行四邊形,

∵OA=OC,

∴平行四邊形AOCD是菱形(一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形)


(3)解:連接OD.

∵四邊形AOCD為菱形,

∴OA=AD=DC=2,

∵OA=OD,

∴OA=OD=AD=2,

∴△OAD是等邊三角形,

∴∠AOD=60°,

∵DH⊥AB于點(diǎn)F,AB為直徑,

∴DH=2DF,

在Rt△OFD中,sin∠AOD= ,

∴DF=ODsin∠AOD=2sin60°= ,

∴DH=2DF=2


【解析】(1)連接OC,根據(jù)EC與⊙O切點(diǎn)C,則∠OCE=90°,由題意得 = = ,∠DAC=∠CAB,即可證明AE∥OC,則∠AEC+∠OCE=180°,從而得出∠AEC=90°;(2)四邊形AOCD為菱形.由(1)得 = ,則∠DCA=∠CAB可證明四邊形AOCD是平行四邊形,再由OA=OC,即可證明平行四邊形AOCD是菱形(一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形);(3)連接OD.根據(jù)四邊形AOCD為菱形,得△OAD是等邊三角形,則∠AOD=60°,再由DH⊥AB于點(diǎn)F,AB為直徑,在Rt△OFD中,根據(jù)sin∠AOD= ,求得DH的長.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解切線的性質(zhì)定理(切線的性質(zhì):1、經(jīng)過切點(diǎn)垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過切點(diǎn)垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑),還要掌握解直角三角形(解直角三角形的依據(jù):①邊的關(guān)系a2+b2=c2;②角的關(guān)系:A+B=90°;③邊角關(guān)系:三角函數(shù)的定義.(注意:盡量避免使用中間數(shù)據(jù)和除法))的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】計(jì)算:(能簡便的用簡便方法計(jì)算)

(1)8+(-10)-(-5) (2)

(3) (4)×(-30)

(5)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】□ABCD中,若∠ABC的平分線把邊AD分成長是2cm3cm的兩條線段,求□ABCD的周長.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,EFABCD對(duì)角線的交點(diǎn)O,交ADE,交BCF,若 ABCD的周長為16,OE=2.5,則四邊形EFCD的周長為(  )

A. 10 B. 11 C. 12 D. 13

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】下列幾何體是由4個(gè)相同的小正方體搭成的,其中主視圖和左視圖相同的是(

A. A B. B C. C D. D

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,邊長為1的正方形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°到AB′C′D′的位置,則圖中陰影部分的面積為(
A.
B.
C.1﹣
D.1﹣

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,RtABC,ACB=90°,過點(diǎn)C的直線MNAB,DAB邊上一點(diǎn),過點(diǎn)DDEBC,交直線MN于點(diǎn)E,垂足為F,連接CD,BE

(1)求證:CE=AD

(2)若DAB的中點(diǎn),則∠A的度數(shù)滿足什么條件時(shí),四邊形BECD是正方形?請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,⊙O的半徑OD⊥弦AB于點(diǎn)C,連結(jié)AO并延長交⊙O于點(diǎn)E,連結(jié)EC.若AB=8,CD=2,則EC的長為(
A.2
B.8
C.
D.2

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,E是矩形ABCD內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接EA、EB、EC、ED,得到△EAB、△EBC、△ECD、△EDA,設(shè)它們的面積分別是m、n、p、q,給出如下結(jié)論:

①m+n=q+p;

②m+p=n+q;

m=n,則E點(diǎn)一定是ACBD的交點(diǎn);

m=n,則E點(diǎn)一定在BD上.

其中正確結(jié)論的序號(hào)是(  )

A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ②③④

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案