Question

【題目】已知關(guān)于x的方程x2﹣（2k+3）x+k2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1 ， x2 ．
（1）求k的取值范圍；
（2）若兩不相等的實(shí)數(shù)根滿(mǎn)足x1x2﹣x12﹣x22=﹣9，求實(shí)數(shù)k的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知可得，△=[﹣（2k+3）]2﹣41k2=12k+9＞0

∴k＞﹣

（2）解：由已知可得x1+x2=2k+3，x1x2=k2，

∵x1x2﹣x12﹣x22=﹣9，

∴x1x2﹣[（x1+x2）2﹣2x1x2]=﹣9，

即3x1x2﹣（x1+x2）2=﹣9，

∴3k2﹣（2k+3）2=﹣9，

整理得k2+12k=0，解得k1=0，k2=﹣12，

又k＞﹣ ，

∴k=0．

【解析】（1）根據(jù)判別式的意義得到△=[﹣（2k+3）]2﹣41k2=12k+9＞0，然后解不等式即可；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2=2k+3，x1x2=k2 ， 再把x1x2﹣x12﹣x22=﹣9變形為即3x1x2﹣（x1+x2）2=﹣9，則3k2﹣（2k+3）2=﹣9，然后解關(guān)于k的方程，最后利用k的范圍確定滿(mǎn)足條件的k的值．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的求根公式和根與系數(shù)的關(guān)系，需要了解根的判別式△=b2-4ac，這里可以分為3種情況：1、當(dāng)△>0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根2、當(dāng)△=0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)相同的實(shí)數(shù)根3、當(dāng)△<0時(shí)，一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根；一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系數(shù)a、b、c而定；兩根之和等于方程的一次項(xiàng)系數(shù)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項(xiàng)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商才能得出正確答案．